Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/263

tangente à un point quelconque, c’est-à-dire la partie de l’axe comprise entre la tangente et l’ordonnée $y\,;$ on aura $t-x$ pour la partie comprise entre la tangente et l’origine des abscisses ; donc $t-x+p$ et $t-x+q$ seront les parties de l’axe comprises entre les deux points donnés et la tangente.

Ayant abaissé de ces points des perpendiculaires sur la tangente, on formera par là deux triangles rectangles semblables au triangle rectangle formé par la tangente, l’ordonnée $y$ et la sous-tangente $t\,;$ il est visible que, dans ces triangles, les lignes $t-x+p$ et $t-x+q$ répondront à la tangente même, qui est ${\sqrt {y^{2}+t^{2}}},$ et que les perpendiculaires dont il s’agit répondront à l’ordonnée $y,$ de sorte qu’on aura pour ces perpendiculaires les valeurs

${\frac {(t-x+p)y}{\sqrt {y^{2}+t^{2}}}},\quad {\frac {(t-x+q)y}{\sqrt {y^{2}+t^{2}}}};$

par conséquent l’équation du problème sera

${\frac {(t-x+p)(t-x+q)y^{2}}{y^{2}+t^{2}}}=k,$

$k$ étant une constante donnée.

Or le rapport de l’ordonnée à la sous-tangente étant exprimé par la fonction prime $y',$ on a

${\frac {y}{t}}=y',$

par conséquent

$t={\frac {y}{y'}};$

cette valeur étant substituée dans l’équation précédente, elle se réduit à

${\frac {(y-y'x+py')(y-y'x+qy')}{1+y'^{2}}}=k,$

équation du premier ordre.

Cette équation, étant mise sous la forme différentielle et multipliée