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deux perpendiculaires menées des deux points donnés sur cette ligne soit égal à $k.$

Si, dans les expressions générales de ces perpendiculaires trouvées ci-dessus, on substitue pour $t$ sa valeur ${\frac {y}{y'}},$ ou bien $y{\frac {dx}{dy}},$ suivant la notation du Calcul différentiel, on a

${\frac {ydx-xdy+pdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {ydx-xdy+qdy}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}.$

Soit

$y=ax+b,$

en général, l’équation à la ligne droite ; on aura

$dy=adx\,;$

substituant ces deux valeurs, les deux perpendiculaires deviendront

${\frac {b+ap}{\sqrt {1+a^{2}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {b+aq}{\sqrt {1+a^{2}}}},$

et l’on aura l’équation

$(b+ap)(b+aq)=k\left(1+a^{2}\right),$

d’où l’on tire

$b=-a{\frac {p+q}{2}}\pm {\sqrt {\left(1+a^{2}\right)k+a^{2}\left({\frac {p-q}{2}}\right)^{2}}},$

ce qui donne les mêmes lignes droites que nous venons de trouver.

Telle est l’analyse d’Euler, que j’ai rapportée en entier, et même avec un peu plus de détail, pour servir d’exemple dans une matière qui est encore peu traitée dans les Ouvrages élémentaires.

On voit que ce problème admet réellement deux solutions très différentes, puisque l’une donne des lignes droites, et l’autre donne une ellipse.

Euler n’a pas cherché à rapprocher ces deux solutions et à les faire dépendre l’une de l’autre ; il s’est contenté de donner cette duplicité de solutions comme un paradoxe de Calcul intégral, par la raison que l’équation qui contient une constante arbitraire, et qu’on doit, par