conséquent, regarder comme l’intégrale complète, ne renferme cependant pas l’autre équation finie, qui satisfait également à l’équation différentielle, ce qui paraît, en effet, contraire aux principes du Calcul différentiel.
Euler regarde aussi comme un paradoxe que la différenciation puisse suppléer à l’intégration, ce qui ne doit s’entendre cependant que de l’intégrale sans constante arbitraire, qui résulte immédiatement de la différentielle de l’équation proposée, combinée avec cette même équation car, pour l’autre intégrale qui dépend d’une intégration subséquente, elle est conforme aux principes généraux du calcul.
D’après la théorie que nous avons donnée sur les équations primitives singulières, on voit clairement que ces paradoxes d’Euler ne sont que des résultats particuliers de cette théorie.
Il est évident que l’équation à l’ellipse, qui est sans constante arbitraire, n’est que l’équation primitive singulière de l’équation du premier ordre, donnée par les conditions du problème, puisqu’elle résulte du facteur du même ordre qui multiplie la dérivée de la même équation et que l’équation à la ligne droite, qui vient de l’autre facteur du second ordre, est donnée par l’équation primitive complète, avec une constante arbitraire, conformément à la théorie développée dans la Leçon seizième.
Si de l’équation à la ligne droite
et de sa dérivée
on tire les valeurs des constantes et on a
et ces valeurs, substituées dans l’équation donnée par les conditions du problème, savoir,
