Par cette considération on pourrait donc aussi résoudre le problème d’Euler, comme Leibnitz avait résolu celui dont nous avons parlé au commencement de cette Leçon, et parvenir directement à l’ellipse, qui n’est donnée par l’analyse que d’une manière indirecte
Jusque-là on n’avait considéré les équations primitives singulières que comme des solutions particulières qui se présentaient d’elle\sinêmes et sans intégration, et l’on n’avait encore aucun moyen pour reconnaître, a priori, si une pareille solution pouvait être comprise ou non dans la solution générale donnée par l’intégrale complète de l’équation différentielle du problème. Euler a donné le premier une règle générale pour cet objet dans le premier Volume de son Calcul intégral, et Laplace a montré ensuite comment on peut déduire de l’équation différentielle les solutions particulières qui échappent à l’intégrale complète, comme nous l’avons rapporté à la fin de la Leçon quinzième.
Il restait à découvrir la liaison entre ces intégrales particulières et les intégrales complètes, ainsi qu’entre les courbes données par les unes et les autres, et à rappeler toute la théorie de ces différentes intégrales aux premiers principes du Calcul différentiel ; c’est ce qu’on a fait dans un Mémoire sur ce sujet, imprimé dans le Recueil de L’Académie de Berlin de 1774, et dans un autre Mémoire imprimé dans le même Recueil pour 1779[1].
Comme ce point d’analyse est un des plus intéressants par ses différentes applications, j’ai cru devoir en développer toute la théorie dans ces Leçons, en y joignant des considérations nouvelles et des détails historiques qui peuvent faire plaisir aux analystes et servir à l’histoire de cette partie des Mathématiques.
- ↑ Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 1 et p. 585.
