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marche paraisse directe et naturelle, le passage du fini à l’infini exige toujours une espèce de saut, plus ou moins forcé, qui rompt la loi de continuité et change la forme des fonctions.

Ayant réduit, comme nous l’avons fait, le Calcul différentiel à ses véritables éléments, les fonctions dérivées, et l’ayant ainsi entièrement séparé du Calcul aux différences finies, nous avons cru devoir dire deux mots de la nature et des usages de celui-ci, qui n’est, à proprement parler, que l’analyse ordinaire appliquée à une suite de quantités qu’on suppose dépendre d’une même loi.

Soit une suite de quantités

${\overset {0}{y}},\ \ {\overset {1}{y}},\ \ {\overset {2}{y}},\ \ {\overset {3}{y}},\ \ {\overset {4}{y}},\ \ \ldots ,$

qui répondent à ces quantités en progression arithmétique

$0,\ \ i,\ \ 2i,\ \ 3i,\ \ 4i,\ \ \ldots .$

Désignons, en général, un terme quelconque de la première suite par $y,$ et le terme correspondant de la seconde suite par $x\,;$ désignons de plus par ${\overset {'}{y}},\ {\overset {''}{y}},\ {\overset {'''}{y}},\ \ldots$ les termes qui, dans la première suite, suivent le terme $y,$ et qui répondent aux termes

$x+i,\ \ x+2i,\ \ x+3i,\ \ \ldots$

de la seconde.

Enfin, désignons, pour plus de simplicité, par les caractéristiques $\Delta ,\Delta ^{2},\ldots$ les différences premières, secondes, des termes de la première suite, de manière que l’on ait

$\Delta y={\overset {'}{y}}-y,\quad \Delta ^{2}y={\overset {''}{y}}-2{\overset {'}{y}}+y,\quad \ldots .$

À l’égard de la seconde suite, il est clair qu’on aura

$\Delta x=i\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}x=0,\quad \ldots .$

Cela posé, supposons d’abord que la première suite soit formée de la seconde par cette loi très simple

$y=ax,$

$a$ étant un coefficient constant pour toute la suite.