Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/274

Si la différence $i$ de la progression arithmétique devenait infiniment petite, la différence correspondante $\Delta y$ deviendrait infiniment petite aussi, et leur rapport ${\frac {\Delta y}{i}},$ que nous avons vu être égal à la constante arbitraire $a,$ serait toujours le même. Dans l’infiniment petit, ce rapport devient égal à la fonction dérivée $y'\,;$ en regardant $y$ comme fonction de $x,$ et l’équation devient alors

$y=xy',$

qui est l’équation dérivée dont

$y=ax$

est l’équation primitive, $a$ étant la constante arbitraire.

Supposons maintenant cette loi

$y=ax+a^{2},$

qui n’est guère plus compliquée que la précédente.

On aura donc aussi, en changeant $y$ en ${\overset {'}{y}}$ et $x$ en $x+i,$

${\overset {'}{y}}=ax+ai+a^{2}\,;$

retranchant la première de celle-ci et mettant $\Delta y$ pour ${\overset {'}{y}}-y,$ on aura

$\Delta y=ai,$

d’où l’on tire

$a={\frac {\Delta y}{i}},$

et, substituant cette valeur à la place de $a,$ on aura

$y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}},$

équation aux différences finies, et qui est indépendante de la constante $a.$

La première équation donne donc l’expression du terme général, et la seconde donne la loi entre les termes successifs, de manière que, cette loi étant proposée, on aura, par la première, le terme général avec une constante arbitraire $a.$