Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/275

L’analyse précédente suppose que la quantité $a$ est indépendante de $x,$ puisqu’elle demeure la même dans les deux équations successives mais, si elle dépendait de $x,$ de manière que les deux équations eussent néanmoins la même forme que dans le cas ou elle est constante, il est clair que l’équation aux différences, qui résulte de ces deux équations par l’élimination de $a,$ serait encore la même ; par conséquent on aurait plus d’une équation en $x$ et $y$ pour la même équation aux différences c’est le principe qui donne les équations primitives singulières, comme on l’a vu dans la Leçon quatorzième.

Supposons donc, en général, que la quantité $a,$ qui répond à $x,$ devienne ${\overset {'}{a}},{\overset {''}{a}},\ldots$ lorsque $x$ devient $x+i,\ x+2i,\ldots \,;$ les deux équations successives, dont l’une répond à $x$ et l’autre à $x+i,$ seront

${\begin{aligned}y=&ax+a^{2},\\{\overset {'}{y}}=&{\overset {'}{a}}(x+i)+{\overset {'}{a}}\,^{2}.\end{aligned}}$

Or, si l’on suppose que les quantités $a$ et ${\overset {'}{a}}$ soient telles que l’on ait

${\overset {'}{a}}(x+i)+{\overset {'}{a}}\,^{2}=a(x+i)+a^{2},$

la seconde équation deviendra

${\overset {'}{y}}=a(x+i)+a^{2},$

comme dans le cas ou $a$ est supposée constante ; par conséquent, on aura également, par l’élimination de $a,$ l’équation aux différences

$y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}}.$

Il s’agit donc de trouver le terme général de la série dont les termes consécutifs $a$ et ${\overset {'}{a}},$ répondant à $x$ et $x+i,$ ont entre eux la relation déterminée par l’équation ci-dessus, qui se réduit à cette forme

${\overset {'}{a}}\,^{2}-a^{2}+(x+i)\left({\overset {'}{a}}-a\right)=0,$

et qui est, comme on voit, du genre des équations aux différences.