J’observe maintenant qu’en supposant
![{\displaystyle u=br^{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2826d642a27d68a78d45f3159c9fc935255795)
et
étant des constantes, on a
![{\displaystyle {\overset {'}{u}}=br^{x+i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f41896416af10c2f7680ec96de3b23cdf14d055)
et la substitution donne
![{\displaystyle br^{x+i}+br^{x}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0434ac53d46f0e1a0c763d8a230475184ba594)
équation divisible par
et qui donne
![{\displaystyle r^{i}+1=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a32cc58b404bdd1f5c46d7fa51b0131a27544fe)
d’où l’on tire
![{\displaystyle r^{i}=-1\quad {\text{et}}\quad r=(-1)^{\frac {1}{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a11ac477549681fb9f379a3ad2f2896b4ed3cea)
Ainsi l’expression
![{\displaystyle u=b(-1)^{\frac {x}{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f2c58658d9138f222dcf82acd76011f9ea80682)
satisfait à l’équation avec la constante arbitraire
En effet, en supposant cette équation en
et
pour faire disparaître la constante
on prendra l’équation successive
![{\displaystyle {\overset {'}{u}}=b(-1)^{\frac {x+i}{i}}=-b(-1)^{\frac {x}{i}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eacc53536a54a35a50abe0565bd9ab03ecaea09)
et, éliminant
on aura
![{\displaystyle u+{\overset {'}{u}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e237380354a9fcdfc4d012afc5f42a4eb1d2b5)
équation proposée.
Donc l’expression générale de
sera
![{\displaystyle a=b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/940be3c4cc3e2743957f59915709662d8601f168)
et cette valeur, substituée dans l’expression de
donnera un nouveau terme général avec une constante arbitraire
qui satisfera également à la même équation aux différences
![{\displaystyle y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3ee717cceaddf1e1622bb60b7eeb2fc170e327)