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J’observe maintenant qu’en supposant

$u=br^{x},$

$b$ et $r$ étant des constantes, on a

${\overset {'}{u}}=br^{x+i},$

et la substitution donne

$br^{x+i}+br^{x}=0,$

équation divisible par $br^{x},$ et qui donne

$r^{i}+1=0,$

d’où l’on tire

$r^{i}=-1\quad {\text{et}}\quad r=(-1)^{\frac {1}{i}}$

Ainsi l’expression

$u=b(-1)^{\frac {x}{i}}$

satisfait à l’équation avec la constante arbitraire $b.$ En effet, en supposant cette équation en $u$ et $x\,;$ pour faire disparaître la constante $b,$ on prendra l’équation successive

${\overset {'}{u}}=b(-1)^{\frac {x+i}{i}}=-b(-1)^{\frac {x}{i}},$

et, éliminant $b,$ on aura

$u+{\overset {'}{u}}=0,$

équation proposée.

Donc l’expression générale de $a$ sera

$a=b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}},$

et cette valeur, substituée dans l’expression de $y,$ donnera un nouveau terme général avec une constante arbitraire $b,$ qui satisfera également à la même équation aux différences

$y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}}.$