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Pour faciliter cette substitution, je mets l’expression donnée de $y$ sous cette forme

$y=\left(a+{\frac {x}{2}}\right)^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},$

et j’y substitue, pour $a,$ la valeur qu’on vient de trouver ; il vient cette nouvelle expression de $y$

$y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}}.$

Comme $b$ est ici une constante arbitraire, on peut aussi la faire disparaître par l’équation successive, dans laquelle $x$ devient $x+i,$ et $y$ devient $y'$ ou $y+\Delta y\,;$ on aura ainsi

$y+\Delta y=\left[-b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {(x+i)^{2}}{4}},$

à cause de

$(-1)^{\frac {x+i}{i}}=(-1)^{{\frac {x}{i}}+1}=-(-1)^{\frac {x}{i}}.$

Retranchant de cette équation la précédente et observant que la différence des deux carrés est le produit de la somme par la différences des racines, on aura tout de suite

$\Delta y=ib(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {ix}{2}}-{\frac {i^{2}}{4}},$

d’où l’on tire

$b(-1)^{\frac {x}{i}}={\frac {\Delta y}{i}}+{\frac {x}{2}}+{\frac {i}{4}};$

et cette valeur, substituée dans la première équation, donne l’équation aux différences

$y=\left({\frac {\Delta y}{i}}+{\frac {x}{2}}\right)^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},$

savoir

$y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}},$

qui est la même valeur qu’on avait trouvée dans le cas où $a$ était la constante arbitraire.