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mais en regardant $a$ comme une variable dépendante de $x\,;$ on aura

$\Delta {\overset {'}{y}}={\overset {'}{a}}i\quad {\text{et}}\quad \Delta ^{2}y=\left({\overset {'}{a}}-a\right)i;$

donc l’autre équation deviendra

$x+i+a+{\overset {'}{a}}=0,$

qui est la même que nous avons trouvée plus haut, et d’où nous avons tiré

$a=b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}}.$

On aura donc

$\Delta y=i\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {x}{2}}-{\frac {i}{4}}\right],$

et, comme l’équation aux différences peut se mettre sous la forme

$y=\left({\frac {x}{2}}+{\frac {\Delta y}{i}}\right)^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},$

la substitution de cette valeur de $\Delta y$ donnera

$y=\left[b(-1)^{\frac {x}{i}}-{\frac {i}{4}}\right]^{2}-{\frac {x^{2}}{4}},$

comme plus haut.

Cette manière de trouver la seconde expression de $y$ revient à la méthode que nous avons exposée dans la Leçon XVI, pour les équations primitives singulières.

En supposant $i$ infiniment petit, les valeurs de $a$ et ${\overset {'}{a}},$ qui répondent à $x$ et $x+i,$ ne doivent différer l’une de l’autre que d’une quantité infiniment petite ; par conséquent, par le principe des infiniment petits, l’équation

${\overset {'}{a}}+a+x+i=0$

se réduit à

$2a+x=0,$

ce qui donne

$a=-{\frac {x}{2}},$