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On peut trouver d’une autre manière les mêmes expressions de $y$ qui satisfont à l’équation aux différences

$y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}}.$

En prenant l’équation successive qui répond à $x+i,$ on a aussi

${\overset {'}{y}}={\frac {(x+i)\Delta {\overset {'}{y}}}{i}}+{\frac {\Delta {\overset {'}{y}}\,^{2}}{i^{2}}};$

mais

${\overset {'}{y}}=y+\Delta y,\quad \Delta {\overset {'}{y}}=\Delta y+\Delta ^{2}y;$

donc, retranchant la première équation de la seconde, on aura

$\Delta y=x{\frac {\Delta ^{2}y}{i}}+\Delta y+\Delta ^{2}y+{\frac {2\Delta y\Delta ^{2}y}{i^{2}}}+{\frac {\Delta ^{2}y^{2}}{i^{2}}},$

savoir, en multipliant par $i$ et réduisant,

$\left(x+i+{\frac {2\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta ^{2}y}{i}}\right)\Delta ^{2}y=0.$

équation qui se décompose, comme l’on voit, en deux,

$\Delta ^{2}y=0\quad {\text{et}}\quad x+i+{\frac {2\Delta y+\Delta ^{2}y}{i}}=0.$

La première donne tout de suite

$\Delta y=\mathrm {{\grave {a}}\ une\ constante} \,;$

faisant cette constante $=ai,$ on obtiendra

$\Delta y=ai;$

substituant cette valeur dans l’équation aux différences, on aura, comme plus haut,

$y=ax+a^{2}.$

Retenons maintenant la supposition

$\Delta y=ai,$