On peut trouver d’une autre manière les mêmes expressions de
qui satisfont à l’équation aux différences
![{\displaystyle y={\frac {x\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta y^{2}}{i^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3ee717cceaddf1e1622bb60b7eeb2fc170e327)
En prenant l’équation successive qui répond à
on a aussi
![{\displaystyle {\overset {'}{y}}={\frac {(x+i)\Delta {\overset {'}{y}}}{i}}+{\frac {\Delta {\overset {'}{y}}\,^{2}}{i^{2}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e3ddd911d6a7bf1c1f2e3d37bea8937a95b5df)
mais
![{\displaystyle {\overset {'}{y}}=y+\Delta y,\quad \Delta {\overset {'}{y}}=\Delta y+\Delta ^{2}y;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ac0aa072e6ef996eafd1d6dc748420ab3f4190d)
donc, retranchant la première équation de la seconde, on aura
![{\displaystyle \Delta y=x{\frac {\Delta ^{2}y}{i}}+\Delta y+\Delta ^{2}y+{\frac {2\Delta y\Delta ^{2}y}{i^{2}}}+{\frac {\Delta ^{2}y^{2}}{i^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7040b764e5284bfca850aeadf4be4942a2fd93e6)
savoir, en multipliant par
et réduisant,
![{\displaystyle \left(x+i+{\frac {2\Delta y}{i}}+{\frac {\Delta ^{2}y}{i}}\right)\Delta ^{2}y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744c13c14450f350b40187e44d8e2bb8d3dbb184)
équation qui se décompose, comme l’on voit, en deux,
![{\displaystyle \Delta ^{2}y=0\quad {\text{et}}\quad x+i+{\frac {2\Delta y+\Delta ^{2}y}{i}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/762a569556cc59293062eff45bc17dd12fec9d18)
La première donne tout de suite
![{\displaystyle \Delta y=\mathrm {{\grave {a}}\ une\ constante} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb41fa6a6881bf52befbaecff3592d3a364aee84)
faisant cette constante
on obtiendra
![{\displaystyle \Delta y=ai;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731f7581cf44513cfd4032ba143775e103be5704)
substituant cette valeur dans l’équation aux différences, on aura, comme plus haut,
![{\displaystyle y=ax+a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49c3920cd1d330461b0009dcd481c9051316731)
Retenons maintenant la supposition
![{\displaystyle \Delta y=ai,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/563edf795bc0ba2ff1ad2db6115fa2250cda12d6)