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L’équation résultante sera alors entre $x,y,{\overset {'}{y}}$ et ${\overset {''}{y}}$ ou bien entre les quantités $x,y,\Delta y$ et $\Delta ^{2}y,$ en substituant $y+\Delta y$ pour ${\overset {'}{y}},$ et $y+2\Delta y+\Delta ^{2}y$ pour ${\overset {''}{y}}\,;$ ce sera donc une équation aux différences secondes, et ainsi de suite.

Donc, réciproquement, toute équation aux différences premières, ou entre deux termes successifs, comportera une constante arbitraire dans l’équation du terme général ; toute équation aux différences secondes, ou entre trois termes successifs, comportera deux constantes arbitraires dans l’équation du terme général, et ainsi de suite.

On peut, en effet, se convaincre que cela doit être, par la nature même de ces équations.

Considérons, par exemple, une équation quelconque aux différences premières entre $x,y$ et ${\overset {'}{y}},$ et supposons qu’ayant tiré la valeur de $y$ on ait

${\overset {'}{y}}=f(x,y).$

Comme la même équation doit avoir lieu dans toute l’étendue de la série, en faisant successivement

$x=0,\ \ i,\ \ 2i,\ \ 3i,\ \ \ldots ,$

la variable $y$ deviendra ${\overset {0}{y}},{\overset {1}{y}},{\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}},\ldots ,$ et ${\overset {'}{y}}$ deviendra en même temps ${\overset {1}{y}},{\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}},{\overset {4}{y}},\ldots .$

Ainsi l’équation proposée donnera cette suite d’équations

${\overset {1}{y}}=f\left(0,{\overset {0}{y}}\right),\quad {\overset {2}{y}}=f\left(i,{\overset {1}{y}}\right),\quad {\overset {3}{y}}=f\left(2i,{\overset {2}{y}}\right),\quad \ldots .$

Donc, substituant successivement les valeurs précédentes, tous les termes ${\overset {1}{y}},{\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}},\ldots$ seront donnés par le premier terme ${\overset {0}{y}},$ et un terme quelconque $y,$ répondant à $x,$ sera donné en $x$ et ${\overset {0}{y}}.$

Ainsi l’expression du terme général contiendra nécessairement la valeur arbitraire et constante du premier terme ${\overset {0}{y}}.$

Si l’équation proposée était aux différences secondes ou entre les termes successifs $y,{\overset {'}{y}},{\overset {''}{y}},$ on pourrait en tirer la valeur de ${\overset {''}{y}},$ et l’on