L’équation résultante sera alors entre
et
ou bien entre les quantités
et
en substituant
pour
et
pour
ce sera donc une équation aux différences secondes, et ainsi de suite.
Donc, réciproquement, toute équation aux différences premières, ou entre deux termes successifs, comportera une constante arbitraire dans l’équation du terme général ; toute équation aux différences secondes, ou entre trois termes successifs, comportera deux constantes arbitraires dans l’équation du terme général, et ainsi de suite.
On peut, en effet, se convaincre que cela doit être, par la nature même de ces équations.
Considérons, par exemple, une équation quelconque aux différences premières entre
et
et supposons qu’ayant tiré la valeur de
on ait
![{\displaystyle {\overset {'}{y}}=f(x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58c1c1f14e13013cab77d4f1595838024ea1112f)
Comme la même équation doit avoir lieu dans toute l’étendue de la série, en faisant successivement
![{\displaystyle x=0,\ \ i,\ \ 2i,\ \ 3i,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e67ef8ca85a9151c0ad799a0e4d9806cadd3d7)
la variable
deviendra
et
deviendra en même temps ![{\displaystyle {\overset {1}{y}},{\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}},{\overset {4}{y}},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd742055f0b2b20b2e233c1c910a83e70bbf97d)
Ainsi l’équation proposée donnera cette suite d’équations
![{\displaystyle {\overset {1}{y}}=f\left(0,{\overset {0}{y}}\right),\quad {\overset {2}{y}}=f\left(i,{\overset {1}{y}}\right),\quad {\overset {3}{y}}=f\left(2i,{\overset {2}{y}}\right),\quad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e453c284ff246083f4dc08315fa4f00cd2848b3)
Donc, substituant successivement les valeurs précédentes, tous les termes
seront donnés par le premier terme
et un terme quelconque
répondant à
sera donné en
et
Ainsi l’expression du terme général contiendra nécessairement la valeur arbitraire et constante du premier terme
Si l’équation proposée était aux différences secondes ou entre les termes successifs
on pourrait en tirer la valeur de
et l’on