aurait
![{\displaystyle {\overset {''}{y}}=f\left(x,y,{\overset {'}{y}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1d1f2df25de986f6b6fed2ef4713d583bb7a0ca)
Donc, faisant successivement
![{\displaystyle x=0,\ \ i,\ \ 2i,\ \ 3i,\ \ \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21e67ef8ca85a9151c0ad799a0e4d9806cadd3d7)
on aurait
![{\displaystyle {\overset {2}{y}}=f\left(0,{\overset {0}{y}},{\overset {1}{y}}\right),\quad {\overset {3}{y}}=f\left(i,{\overset {1}{y}},{\overset {2}{y}}\right),\quad {\overset {4}{y}}=f\left(2i,{\overset {2}{y}},{\overset {3}{y}}\right),\quad \ldots ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9140dccfba4b624af817f218dd543733b3a963)
de sorte qu’en substituant toujours les valeurs précédentes on aurait les termes
donnés en
et
par conséquent le terme général
répondant à
serait exprimé en
et
dans lequel
et
ont des valeurs arbitraires et constantes.
Et ainsi pour les équations aux différences plus hautes.
On voit par là que le nombre de constantes arbitraires qui doivent entrer dans l’expression complète du terme général est nécessairement égal à l’exposant de la plus haute différence qui entre dans l’équation proposée ; d’où l’on doit conclure que toute expression du terme général qui satisfera à une équation aux différences, et qui aura autant de constantes arbitraires que cette équation en admet en raison de l’ordre de ces différences, devra être regardée comme complète, de quelque manière qu’on y soit parvenu.
Mais la même équation pourra encore être susceptible d’une autre expression générale, qui répondra à l’équation primitive singulière, et qu’on pourra trouver par les mêmes principes.
Car, si
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a614a44d12dd63c43f58ce1f21ffb0200adde338)
est l’équation qui donne l’expression générale de
en
avec la constante arbitraire
on aura l’équation entre les termes successifs
et
ou
et
en éliminant
des deux équations
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,a)=0,\quad \operatorname {F} (x+i,{\overset {'}{y}},a)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c18b5d3616bc9daeaa72a6d07ef077b6988ae51)
et le résultat de cette élimination, qui sera l’équation aux différences,