le terme répondant à
sera, par la substitution de
au lieu de
![{\displaystyle y+\omega {\frac {\Delta y}{i}}+{\frac {\omega (\omega -i)}{2}}{\frac {\Delta ^{2}y}{i^{2}}}+{\frac {\omega (\omega -i)(\omega -2i)}{2.3}}{\frac {\Delta ^{3}y}{i^{3}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdc84af47b232114c3e814c9c0063cd4ade3ad42)
Cette formule, donnée d’abord par Newton à la fin des Principes, pour l’interpolation des lieux des comètes, a été ensuite appliquée par Taylor au cas où, les différences
devenant infiniment petites et égales à
les différences
deviennent
Alors, en négligeant les termes
vis-à-vis de
on a la formule
![{\displaystyle y+\omega {\frac {dy}{dx}}+{\frac {\omega ^{2}}{2}}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3e54773905bffbd591c77aa1c5fb161473422f5)
qui exprime la valeur de ce que devient
lorsque
devient ![{\displaystyle x+\omega .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666b017007c3ed027c014c1788132ed8b66884ce)
C’est la formule connue sous le nom de théorème de Taylor.
Cependant, comme les coefficients de
dans les facteurs successifs de la première formule vont en augmentant continuellement, il est visible que, quelque petit que soit
il se trouvera à la fin multiplié par un coefficient si grand, que sa valeur pourra devenir comparable à celle de
et ne pourra plus être, sans erreur, négligée vis-à-vis de celle-ci. Mais la suppression de tous les multiples de
quelque grands qu’ils soient, est néanmoins commandée par la nature de la chose, afin que les quantités
cessent d’être exprimées par les différences finies des quantités
qui sont des fonctions semblablesde
et deviennent simplement les fonctions dérivées
de la même fonction
En effet, la quantité
étant regardée comme une fonction de
la formule dont il s’agit doit donner la même fonction de
et nous avons démontré, d’une manière directe et rigoureuse, que cette fonction, développée suivant les puissances de
est exactement égale à la série
![{\displaystyle y+\omega y'+{\frac {\omega ^{2}}{2}}y''+{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}y'''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba5f371573061468362172cac59c358795bbc16)
La formule des sinus des arcs multiples s’applique de la même ma-