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donc, substituant ces valeurs,

$f(x)=b+ax^{n+1}\left[1-{\frac {n}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2.3}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3.4}}+\ldots \right].$

Or on a, par le développement,

$(1-1)^{n+1}=1-(n+1)+{\frac {(n+1)n}{2}}-{\frac {(n+1)n(n-1)}{2.3}}+\ldots =0\,;$

donc

$(n+1)\left[1-{\frac {n}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2.3}}-\ldots \right]=1,$

et, par conséquent,

$1-{\frac {n}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2.3}}-{\frac {n(n-1)(n-2)}{2.3.4}}+\ldots ={\frac {1}{n+1}},$

quel que soit le nombre $n\,;$ donc on aura

$f(x)={\frac {ax^{n+1}}{n+1}}+b.$

En effet, la fonction dérivée de cette quantité sera, par la règle générale,

${\frac {a(n+1)x^{n}}{n+1}}=ax^{n},$

la constante $b$ ayant zéro pour fonction dérivée.