La première donnera, relativement à
la dérivée
![{\displaystyle f'^{,}\,'(x,y)=-{\frac {6x^{2}}{y^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5532468765e90b7b22f2c45b1a6bd366c4344f9d)
et la seconde donnera également, relativement à ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle f'^{,}\,'(x,y)=-{\frac {6x^{2}}{y^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b130bbb2f083afcdd999428d4c8c58c1b13b112b)
ensuite on aura, relativement à
et à
seuls,
![{\displaystyle f''^{,}(x,y)={\frac {6x}{y^{2}}},\quad f^{,}\,''(x,y)={\frac {6x^{3}}{y^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff37d2d69be03ec281b0ca128f9d2aa86f48bad8)
La dérivée, relativement à
de
sera
![{\displaystyle f''^{,}\,'(x,y)=-{\frac {12x}{y^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a60206ad6ee7ba4a317ca4b4e557255cead8b3)
et la dérivée, relativement à
de
sera aussi
![{\displaystyle f''^{,}\,'(x,y)=-{\frac {12x}{y^{3}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a60206ad6ee7ba4a317ca4b4e557255cead8b3)
et ainsi des autres.
À l’imitation de ce que nous avons fait sur les fonctions d’une variable, si l’on suppose que la variable
soit une fonction de deux variables
et
soit explicite, soit donnée simplement par une équation quelconque entre
et
on pourra désigner par
![{\displaystyle z'^{,},\quad z^{,}\,',\quad z''^{,},\quad z'^{,}\,',\quad z^{,}\,'',\quad \ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b107966294b36aa7e715de1ec6960022895f7d)
ses différentes fonctions dérivées, en appliquant à la lettre
les traits avec la virgule qu’on applique à la caractéristique ![{\displaystyle f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb3ed2e17fa8f336dcc0fd4b3eddbfb02a50ef3)
Ainsi,
devenant
et
devenant en même temps
la valeur de
deviendra
![{\displaystyle z+iz'^{,}+oz^{,}\,'+{\frac {i^{2}}{2}}z''^{,}+ioz'^{,}\,'+{\frac {o^{2}}{2}}z^{,}\,''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''^{,}+{\frac {i^{2}o}{2}}z''^{,}\,'+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b920ce21294c83a915ff687f9a63e1575dd0a6)