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tions dérivées dont nous venons de parler, rien n’empêche cependant qu’on ne puisse regarder ces variables elles-mêmes comme des fonctions d’une autre variable quelconque, mais fonctions indéterminées et arbitraires.

Par cette considération, on peut ramener, en quelque manière, la théorie des fonctions de deux variables à celle des fonctions d’une seule, et appliquer, surtout au développement des fonctions de deux ou de plusieurs variables, ce que nous avons démontré dans la Leçon XVIII, sur le développement des fonctions d’une seule variable.

Soit $z$ une fonction de deux variables $x$ et $y\,;$ supposons que chacune de ces variables soit elle-même une fonction d’une autre variable $t,$ de manière que $z$ devienne une simple fonction de $t\,;$ sous ce point de vue, lorsque $t$ devient $t+i,$ $z$ deviendra, par la formule générale (Leçon II),

$z+iz'+{\frac {i^{2}}{2}}z''+{\frac {i^{3}}{2.3}}z'''+\ldots .$

Et si, dans ce développement, on veut s’arrêter au terme $\mu$^ième (Leçon IX), on aura les limites du reste par le terme qui suivra, savoir,

${\frac {i^{\mu }}{1.2.3\ldots \mu }}z^{(\mu )},$

en mettant $t+i$ à la place de $t$ dans la fonction $z^{(\mu )}$ et prenant la plus grande et la plus petite valeur de cette fonction depuis $i=0$ jusqu’à la valeur donnée de $i,$ ou des valeurs quelconques plus grandes et plus petites que celle-ci.

Or, $x$ et $y$ étant supposées fonctions de $t,$ lorsque $t$ devient $t+i,$ $x$ et $y$ deviennent, par la même formule générale,

${\begin{aligned}&x+ix'+{\frac {i^{2}}{2}}x''+\ldots ,\\&y+iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y''+\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera les valeurs des fonctions dérivées $z',z'',\ldots$ en $x,y,$ $x',y',x'',y'',\ldots$ par les procédés exposés dans la Leçon VI.