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Si l’on ne veut avoir le développement de $z$ que par rapport aux accroissements $ix'$ et $iy'$ de $x$ et $y,$ il n’y aura qu’à supposer $x'$ et $y'$ constants ; par conséquent

$x''=0,\quad y''=0,\quad \ldots ,$

et $x'$ et $y'$ pourront être des coefficients quelconques.

Si, dans les accroissements de $x$ et $y,$ on voulait considérer les deux termes

$ix'+{\frac {i^{2}}{2}}x'',\quad iy'+{\frac {i^{2}}{2}}y'',$

on ne ferait alors que

$x'''=0,\quad y'''=0,\quad \ldots ,$

et $x',x'',y',y''$ pourraient être prises pour des constantes quelconques, et ainsi de suite.

Soit, par exemple :

$z=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m};$

on aura, en prenant les dérivées d’après la Leçon VI, et supposant $x',y'$ constantes,

${\begin{aligned}z'\ \ =&2m(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1},\\z''\ =&2m\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1}\\&+4m(m-1)(xx'+yy')^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2},\\z'''=&12m(m-1)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2}\\&+8m(m-1)(m-2)(xx'+yy')^{3}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-3},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

Donc, lorsque $x$ et $y$ deviennent $x+ix',y+iy',$ on aura

$\left[(x+ix')^{2}+(y+iy')^{2}\right]^{m}$

${\begin{aligned}=&\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m}+2m(xx'+yy')\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1}\\&+\left[2m\left(x'^{2}+y'^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-1}+4m(m-1)(xx'+yy')^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{m-2}\right]{\frac {i^{2}}{2}}+\ldots .\end{aligned}}$

Si l’on veut s’arrêter à ces trois premiers termes, alors, le terme