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et les trois équations précédentes fourniront ces expressions de $x,y,z$ en $\omega ,$

${\begin{aligned}x=&\cos \omega f'(\omega )-\sin \omega f''(\omega ),\\y=&\sin \omega f'(\omega )+\cos \omega f''(\omega ),\\z=&f(\omega )+f''(\omega ),\end{aligned}}$

la fonction $f(\omega )$ demeurant arbitraire.

Ces formules pourraient servir à trouver des courbes rectifiables ; car, si $x$ et $y$ sont les coordonnées rectangles d’une courbe plane, et z l’arc correspondant, on sait, par le Calcul différentiel, et je l’ai démontré rigoureusement dans la Théorie des fonctions^[1], que l’on a

$z'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},$

en regardant $x$ et $y$ comme fonctions d’une même variable quelconque.

Si l’on fait $f'(\omega )=m,$ on a

$f''(\omega )=0\quad {\text{et}}\quad f(\omega )=m\omega +n\,;$

les formules précédentes donneront

$x=m\cos \omega ,\quad y=m\sin \omega ,\quad z=m\omega +n,$

ce qui est le cas du cercle.

En prenant pour $f(\omega )$ des fonctions quelconques de $\sin \omega$ et $\cos \varphi ,$ on aura autant de courbes algébriques qu’on voudra, dont la rectification sera algébrique aussi, problème sur lequel les géomètres se sont autrefois beaucoup exercés, et dont on peut voir différentes solutions dans le tome V des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg.

Les équations dont nous venons de nous occuper sont connues sous le nom d’équations qui ne satisfôntpas aux conditions d’intégrabilité. On trouve des solutions élégantes de plusieurs de ces équations dans un Mémoire de Monge imprimé dans le Recueil de l’Académie des Sciences pour l’année 1784.

La notation que nous avons employée pour désigner les fonctions

1. Œuvres de Lagrange, t. IX, p. 369.