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Ainsi ces deux équations donnent des valeurs de $y$ et $z$ en $x$ qui satisfont à l’équation proposée, quelles que soient les valeurs des trois constantes $a,b$ et $\omega ,$ comme on peut s’en assurer par la substitution.

Or il est facile de concevoir que ces mêmes valeurs satisferont encore à la proposée, en supposant que les quantités $a,b$ et $\omega$ soient variables, pourvu que les dérivées $x',y',z'$ restent les mêmes, ce qui aura lieu si, en prenant les dérivées des deux équations précédentes, les termes dus aux dérivées de $a,b$ et $\omega$ se détruisent.

Il n’y aura donc qu’à prendre les dérivées des mêmes équations par rapport à $a,b$ et $\omega ,$ et déterminer, par leur moyen, les variables $a$ et $b.$

Regardons dans ces dérivées la variable comme la principale ; nous ferons

$\omega '=1,$

et l’on aura

$-y\sin \omega -x\cos \omega +a'=0,$

$y\cos \omega -x\sin \omega =b'$

Mais nous avons déjà

$y\sin \omega +x\cos \omega =b\,;$

donc on aura

$-b+a'=0,$

ce qui donne

$b=a'$

et, par conséquent,

$b'=a''.$

Ainsi on aura ces trois équations

${\begin{aligned}z=&y\cos \omega -x\sin \omega +a,\\&y\sin \omega +x\cos \omega =a',\\&y\cos \omega -x\sin \omega =a''.\end{aligned}}$

Mais, $a$ étant une fonction quelconque de $\omega ,$ si on la dénote par $f(\omega ),$ on aura

$a'=f'(\omega ),\quad a''=f''(\omega ),$