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sion, telle que

$z'^{,}+\mathrm {M} z'^{,}+\mathrm {N} ,$

ou, ce qui est la même chose,

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions quelconques de $x,y,z.$ On fera ces deux équations

$y'-\mathrm {M} x'=0,\quad z'-\mathrm {N} x'=0,$

dans lesquelles on peut supposer l’une des trois fonctions dérivées $x',y',z'$ égales à l’unité, suivant la variable qu’on voudra regarder comme principale, et dont les deux autres seront censées des fonctions ; et, ayant trouvé, s’il est possible, les deux équations primitives de ces équations, on en déduira les valeurs $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ des deux constantes arbitraires $a$ et $b$ qu’elles doivent renfermer ; on aura alors

$\Phi (\mathrm {P,Q} )=0$

pour l’équation primitive cherchée, d’où résulte

$\mathrm {Q} =\varphi (\mathrm {P} ),$

la caractéristique $\varphi$ désignant une fonction quelconque de $\mathrm {Q} .$

L’analyse précédente est plus simple et plus directe que celle que j’ai donnée dans la Théorie des fonctions^[1] ; c’est ce qui m’a engagé à la mettre ici, d’autant qu’elle s’applique avec la même facilité aux équations semblables entre un plus grand nombre de variables. Dans les Mémoires de Berlin de 1779^[2], je m’étais contenté de prouver, a posteriori, la légitimité et la généralité de cette méthode.

Considérons de la même manière l’équation à quatre variables $t,x,y,z$ de la forme

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

$\mathrm {L,M,N}$ étant des fonctions quelconque de $t,x,y,z.$

1. Œuvres de Lagrange, t. IX.
2. ibid., t. IV, p. 585.