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aura cette primitive

$z-\mathrm {N} x=\varphi (y-\mathrm {M} x),$

comme nous l’avons déjà vu plus haut.

Les trois équations

$x'-t'\mathrm {L} =0,\quad y'-t'\mathrm {M} =0,\quad z'-t'\mathrm {N} =0$

auront ces primitives

$x-\mathrm {L} t=a,\quad y-\mathrm {M} t=b,\quad z-\mathrm {N} t=c,$

et l’équation

$\left({\frac {z'}{t'}}\right)+\mathrm {L} \left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N}$

aura cette primitive

$z-\mathrm {N} t=\varphi (x-\mathrm {L} t,y-\mathrm {M} t).$

Il est bon de remarquer que les équations

$\mathrm {P} =a,\quad \mathrm {Q} =b,\quad \mathrm {R} =c,\quad \ldots ,$

où $a,b,c,\ldots$ sont des constantes arbitraires, donnent chacune une solution particulière de l’équation proposée, ce qui est évident par la forme même de la solution générale

$\Phi (\mathrm {P,Q} )=0\quad {\text{ou}}\quad \Phi (\mathrm {P,Q,R} )=0\,;$

car, puisque la fonction désignée par $\Phi$ est arbitraire, on peut toujours réduire ces équations à

$\mathrm {P} -a=0,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {Q} -b=0,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {R} -c=0,\quad \ldots .$

Ainsi il est facile de voir que l’équation

$z-\mathrm {N} x=b$

satisfait à l’équation dérivée

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)+\mathrm {M} \left({\frac {z'}{y'}}\right)=\mathrm {N} ,$

car elle donne

$z=\mathrm {N} x+b\,;$