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donc

$\left({\frac {z'}{x'}}\right)=\mathrm {N} ,\quad \left({\frac {z'}{y'}}\right)=0.$

Mais, si l’on prenait l’autre équation

$y-\mathrm {M} x=a,$

on ne verrait pas d’abord comment elle y peut satisfaire, puisque la variable $z$ n’y entre pas. Comme cette équation ne donne qu’un rapport entre $x$ et $y,$ par lequel $x$ est fonction de $y,$ ou y fonction de $x,$ il faudra changer l’équation dérivée de manière qu’au lieu des fonctions dérivées de $z,$ par rapport à $x$ et $y,$ elles contiennent les fonctions dérivées de $x$ par rapport à $y$ et $z,$ ou de $y$ par rapport à $x$ et $z,$ ce qu’on obtiendra par les substitutions que nous avons indiquées plus haut.

Nous allons donner ici cette transformation pour servir d’exemple dans les cas semblables.

On mettra donc à la place de $\left({\frac {z'}{x'}}\right)$ et $\left({\frac {z'}{y'}}\right)$ les quantités

${\frac {1}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}},\quad -{\frac {\left({\dfrac {x'}{y'}}\right)}{\left({\dfrac {x'}{z'}}\right)}},$

et l’équation dérivée ci-dessus deviendra, en multipliant tous les termes par $\left({\frac {x'}{z'}}\right),$

$1-\mathrm {M} \left({\frac {x'}{y'}}\right)=\mathrm {N} \left({\frac {x'}{z'}}\right),$

dans laquelle $x$ est maintenant censée fonction de $y$ et $z.$

Or l’équation

$y-\mathrm {M} x=a$

donne

$x={\frac {y-a}{\mathrm {M} }},$

d’où l’on tire

$\left({\frac {x'}{y'}}\right)={\frac {1}{\mathrm {M} }},\quad \left({\frac {x'}{z'}}\right)=0,$

valeurs qui satisfont évidemment à l’éduation précédente.