Nous venons de voir, dans les exemples précédents, que l’équation primitive renferme, dans le cas de trois variables, une fonction arbitraire d’une quantité composée de ces variables, et, dans le cas de quatre variables, une fonction arbitraire de deux quantités composées de ces variables.
Nous allons démontrer que cette proposition est générale, quelle que soit la forme de l’équation dérivée du premier ordre.
En appliquant aux équations à trois variables la théorie que nous avons donnée, dans la Leçon XII, sur les équations dérivées à deux variables, il est aisé de voir que, puisqu’une équation à trois variables a deux équations dérivées, on pourra, par le moyen de ces trois équations, qui ont lieu simultanément, éliminer deux constantes à volonté, et parvenir ainsi à une équation du premier ordre, qui contiendra deux constantes de moins que l’équation primitive.
D’où il suit réciproquement que l’équation primitive d’une équation du premier ordre à trois variables doit contenir deux constantes de plus que l’équation du premier ordre, et que ces constantes seront nécessairement arbitraires.
Prenons pour équation primitive l’équation à trois variables
en regardant comme fonction de et on aura ces deux dérivées, l’une relative à et l’autre relative à
Éliminant, par le moyen de ces trois équations, les constantes et on aura l’équation du premier ordre
à laquelle répondra l’équation primitive
les constantes et demeurant arbitraires.
