Or, tant que
et
sont constants, l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ee240257b29d57d5136946d427711c5460f9ff)
donne, comme on l’a vu plus haut, ces deux dérivées, l’une par rapport à
et l’autre par rapport à y,</math>
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22558988a3caca06b961859e725fc09fed099be0)
Mais, en regardant
et
comme fonctions de
et
ces dérivées deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)+\left({\frac {a'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)+\left({\frac {a'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f818e59a9f2d43da0d7b11ae30668f083372a9ef)
Et il est clair qu’elles se réduiront aux précédentes, en déterminant
et
de manière que l’on ait les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {a'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0,\\\left({\frac {a'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc3c341e16a8c2109ab180f40d3ece35d0f2ca6)
Il est d’abord visible qu’on peut satisfaire à ces deux conditions, en faisant
![{\displaystyle \operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e110ddde0c45a2aea33808d3def402ac9c74f7)
ce qui donne deux équations par lesquelles on pourra déterminer
et
en fonctions de ![{\displaystyle x,y,z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb673ad6f63dc00449c2f0b9999f051e9de36ce8)
Cette solution répond évidemment à celle qui donne les équations primitives singulières des équations à deux variables, comme nous l’avons vu dans la Leçon XV.
Ainsi on pourra appeler aussi équation primitive singulière l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c38f204252fd9f32ddace2b757d20b0c89a264)