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Or, tant que $a$ et $b$ sont constants, l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0$

donne, comme on l’a vu plus haut, ces deux dérivées, l’une par rapport à $x$ et l’autre par rapport à y,</math>

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)=&0.\end{aligned}}$

Mais, en regardant $a$ et $b$ comme fonctions de $x$ et $y,$ ces dérivées deviendront

${\begin{aligned}\operatorname {F} '(x)+\left({\frac {z'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(z)+\left({\frac {a'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0,\\\operatorname {F} '(y)+\left({\frac {z'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(z)+\left({\frac {a'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0.\end{aligned}}$

Et il est clair qu’elles se réduiront aux précédentes, en déterminant $a$ et $b$ de manière que l’on ait les deux équations

${\begin{aligned}\left({\frac {a'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{x'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0,\\\left({\frac {a'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(a)+\left({\frac {b'}{y'}}\right)\operatorname {F} '(b)=&0.\end{aligned}}$

Il est d’abord visible qu’on peut satisfaire à ces deux conditions, en faisant

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0,$

ce qui donne deux équations par lesquelles on pourra déterminer $a$ et $b$ en fonctions de $x,y,z.$

Cette solution répond évidemment à celle qui donne les équations primitives singulières des équations à deux variables, comme nous l’avons vu dans la Leçon XV.

Ainsi on pourra appeler aussi équation primitive singulière l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0,$