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dans laquelle on aura substitué pour $a$ et $b$ les valeurs tirées des deux équations

$\operatorname {F} '(a)=0,\quad \operatorname {F} '(b)=0.$

Mais il y a une manière plus générale de satisfaire aux mêmes conditions.

Supposons que $b$ soit une fonction quelconque de $a,$ que nous désignerons par $\varphi (a),$ alors $b'$ deviendra $\varphi '(a).a'\,;$ par conséquent $\left({\frac {b'}{x'}}\right)$ deviendra $\varphi '(a).\left({\frac {a'}{x'}}\right),$ et $\left({\frac {b'}{y'}}\right)$ deviendra $\varphi '(a).\left({\frac {a'}{y'}}\right).$ Faisant ces substitutions dans les deux équations de condition, elles deviendront

${\begin{aligned}\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{x'}}\right)=&0,\\\left[\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)\right]\left({\frac {a'}{y'}}\right)=&0,\end{aligned}}$

et l’on y satisfera par cette équation unique

$\operatorname {F} '(a)+\operatorname {F} '(b).\varphi '(a)=0,$

laquelle servira à déterminer la valeur de $a,$ et la fonction $\varphi (a)$ demeurera arbitraire.

En effet, si dans l’équation primitive

$\operatorname {F} (x,y,z,a,b)=0$

on fait

$b=\varphi (a),$

elle deviendra

$\operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right]=0,$

et, si l’on désigne par $\operatorname {F} '\left[a,\varphi (a)\right]$ la fonction dérivée de $\operatorname {F} \left[x,y,z,a,\varphi (a)\right],$ prise relativement à $a$ seul, il est facile de voir qu’en faisant

$\operatorname {F} '[a,\varphi (a)]=0,$

les équations dérivées de la proposée, prises relativement à $x$ et à $y,$ seront les mêmes, $a$ étant variable, que si elle ne variait pas ; que, par conséquent, l’équation du premier ordre, déduite de celle-ci par l’élimination de $a$ et $\varphi (a),$ sera encore la même.