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en posant

$\omega =if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots \,;$

donc, faisant cette substitution, on aura

$x+i=a^{f(x)+\omega }=a^{f(x)}a^{\omega }=xa^{\omega },$

et, divisant par $x,$

$1+{\frac {i}{x}}=a^{\omega }.$

Or, par la formule trouvée ci-dessus, on a, en général,

$a^{\omega }=1+c\omega +{\frac {c^{2}\omega ^{2}}{2}}+\ldots \,;$

donc on aura

$1+{\frac {i}{x}}=1+c\omega +{\frac {c^{2}\omega ^{2}}{2}}+\ldots .$

Donc, remettant pour $\omega$ sa valeur, et ordonnant les termes suivant les puissances de $1,$ on aura cette équation identique

${\frac {i}{x}}=icf(x)+{\frac {i^{2}}{2}}\left[c^{2}\left[f'(x)\right]^{2}+cf''(x)\right]+\ldots \,;$

et la comparaison des termes donnera d’abord

${\frac {1}{x}}=cf'(x),$

d’où l’on tire

$f'(x)={\frac {1}{cx}}.$

La comparaison des autres termes donnera les valeurs de $f''(x),$$f'''(x),\ldots \,;$ mais il est plus simple de les déduire successivement de celle de $f'(x).$

La constante $c$ dépend de la base $a$ du système logarithmique, par les mêmes formules que nous avons trouvées plus haut : relativement, aux logarithmes, elle s’appelle le module du système logarithmique.

De là résulte cette règle générale, que la fonction dérivée du loga-