trouver le logarithme d’un nombre donné 
que lorsque ce nombre diffère peu de l’unité ; mais on peut la rendre convergente, dans tous les cas, par la substitution de ![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e759390286a7b255dc0e95f2936f142c8832bc)
au lieu de 
car, puisque ![{\displaystyle \log {\sqrt[{r}]{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a881782f8797e7e73323b20dd7c31e0c28c8d15)
est égal à 
on aura, en multipliant par 
![{\displaystyle \log z={\frac {r}{c}}\left[\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{3}-\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74b6cf6801f6630731ae0890bf6d710740263e4)
où l’on peut prendre pour 
un nombre quelconque positif ou négatif.
Or, quel que soit le nombre on peut toujours en extraire la racine d’un degré tel que soit un nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra ; ainsi la formule précédente donnera toujours la valeur de 
avec toute l’exactitude qu’on pourra désirer.
Si l’on prend négativement, alors devient ![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aea062a948446a912846e2024027f41dc850074c)
et la série qui exprime devient, en changeant les signes,
![{\displaystyle \log z={\frac {r}{c}}\left[\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{3}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/651abe25e5c03be8b6605f9fc92028675e42630b)
où tous les termes sont positifs. Ainsi l’on peut avoir à volonté, pour la valeur de 
une série dont tous les termes soient positifs, ou alternativement positifs ou négatifs. Car il est évident que, 
étant un nombre plus grand que l’unité, sera plus grand que l’unité, et, étant moindre que l’unité, sera aussi moindre que l’unité ; mais les différences seront d’autant plus petites, que l’exposant de la racine sera un plus grand nombre ; donc ![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{z}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea97688b09b341909feba9ed5755a0bb6b5ad9f)
et ![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b567173e6848e6d20dd67328ca9a5809b339fa3)
seront positifs dans le premier cas, et négatifs dans le second.
Si 
est la base des logarithmes, en sorte que 
on pourra, par les mêmes formules, déterminer aussi exactement qu’on voudra la valeur du module 
car, en faisant on aura
![{\displaystyle c=r\left[\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)-{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)^{3}-\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd61461f2aaceb845eb9f10fc6d91df4ef227699)
ou bien
![{\displaystyle c=r\left[\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)^{3}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9509654b4bb99f40d4c2e653b56e7362d832ce7a)
