Il est clair que les deux séries que nous venons de donner pour l’expression de logz seront nécessairement convergentes aussitôt qu’on aura extrait de 
une racine 
telle que ![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{z}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea97688b09b341909feba9ed5755a0bb6b5ad9f)
soit une fraction moindre que l’unité ; car alors ![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b567173e6848e6d20dd67328ca9a5809b339fa3)
sera une fraction plus petite encore, puisque
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}={\frac {{\sqrt[{r}]{z}}-1}{\sqrt[{r}]{z}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c4e5fd5ba12a0de05792088c26f10fd9c22bc8)
Ainsi, puisque dans la première série les termes sont alternatifs, le second et le troisième, le quatrième et le cinquième, etc., formeront des sommes négatives ; de sorte que la première série donnera
![{\displaystyle \log z<{\frac {r}{c}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba75add038e6d70f6e48148d67b8d33fb3fa4228)
Au contraire, la seconde série, ayant tous ses termes positifs, donnera
![{\displaystyle \log z>{\frac {r}{c}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c47c582d44d08076cca1a93af657fb29705d0ca)
Ainsi l’on a tout de suite deux limites pour la valeur de 
qu’on peut resserrer autant que l’on veut, en prenant 
toujours plus grand.
On aura, par la même raison, si ![{\displaystyle {\sqrt[{r}]{a}}<2,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8a33a8f4ac38d0b5d1aa0a0d3815d764c44e88)
![{\displaystyle c<r\left({\sqrt[{r}]{a}}-1\right)>r\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{a}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e78df155ab435df3b5e4508006cdc30ba99ce20)
Puisqu’on a
![{\displaystyle 1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}={\frac {{\sqrt[{r}]{z}}-1}{\sqrt[{r}]{z}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38d1c44849128aeb75e0c8cced1afc88e01ae2d)
il est visible que la différence entre les deux limites de 
sera
![{\displaystyle {\frac {r}{c}}\left({\sqrt[{r}]{z}}-1\right)\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{r}]{z}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84876d57079000bf6a560cb403414347e9a6f104)
ainsi, en prenant l’une ou l’autre des deux expressions précédentes de on est assuré que l’erreur en excès ou en défaut est nécessairement moindre que cette même quantité.
