qu’une fonction de cette forme soit, généralement parlant, une dérivée exacte.
On a donc ici le cas que nous venons de résoudre, et il est visible qu’en prenant la variable
à la place de
et conservant les autres dénominations, on aura l’équation de condition
![{\displaystyle \mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d051db3e76384d04158a126fb0a8579c10eb3e)
laquelle, devant avoir lieu d’elle-même indépendamment d’aucune relation particulière entre
et
devra être entièrement identique.
Cette équation ayant lieu, on aura pour la fonction primitive de
![{\displaystyle (\mathrm {P-Q'+R''} -\ldots )\omega +(\mathrm {Q-R'} +\ldots )\omega '+(\mathrm {R} -\ldots )\omega ''+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55bb71f9ed2b10dceeb98d1077401475d098bb3)
C’est par conséquent la valeur de la fonction ![{\displaystyle {\overset {1}{\mathrm {U} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5537bae3a6b16293d7f2b695c28bf9a8026afb5d)
Ayant ainsi la valeur du premier terme
du développement de la fonction primitive
on pourra en déduire les valeurs de tous les termes suivants
par les principes exposés dans la Leçon XIX, en regardant les quantités
comme autant de variables indépendantes car, si l’on représente la quantité
par la fonction
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb3294cc8b92686d8dea4d17da3d83093f2ca09)
la fonction
![{\displaystyle \operatorname {F} (x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18355dabf68e70cc159d958e1d18a0fae3dfa7c6)
développée suivant les puissances et les produits des quantités
deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {F} &(x,y,y',y'',\ldots )+\omega \operatorname {F} '(y)+\omega '\operatorname {F} '(y')+\omega ''\operatorname {F} '(y'')+\ldots \\&+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\operatorname {F} ''(y)+\omega \omega '{\operatorname {F} '^{,}}'(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega '^{2}\operatorname {F} ''(y')+\ldots \\&+{\frac {1}{2.3}}\omega ^{2}\operatorname {F} '''(y)+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\omega '{\operatorname {F} ''^{,}}'(y,y')+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6900fd2e929cc01cba588dfcb9a647d3200c6c48)
Je ne renferme ici entre les crochets, pour plus de simplicité, que les quantités par rapport auxquelles il faut prendre les fonctions dérivées indiquées par les accents.