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qu’une fonction de cette forme soit, généralement parlant, une dérivée exacte.

On a donc ici le cas que nous venons de résoudre, et il est visible qu’en prenant la variable $\omega$ à la place de $z,$ et conservant les autres dénominations, on aura l’équation de condition

$\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots =0,$

laquelle, devant avoir lieu d’elle-même indépendamment d’aucune relation particulière entre $x$ et $y,$ devra être entièrement identique.

Cette équation ayant lieu, on aura pour la fonction primitive de ${\overset {1}{\mathrm {V} }},$

$(\mathrm {P-Q'+R''} -\ldots )\omega +(\mathrm {Q-R'} +\ldots )\omega '+(\mathrm {R} -\ldots )\omega ''+\ldots .$

C’est par conséquent la valeur de la fonction ${\overset {1}{\mathrm {U} }}.$

Ayant ainsi la valeur du premier terme ${\overset {1}{\mathrm {U} }}$ du développement de la fonction primitive $\mathrm {U} ,$ on pourra en déduire les valeurs de tous les termes suivants ${\overset {2}{\mathrm {U} }},{\overset {3}{\mathrm {U} }},\ldots$ par les principes exposés dans la Leçon XIX, en regardant les quantités $y,y',y'',\ldots$ comme autant de variables indépendantes car, si l’on représente la quantité $\mathrm {U}$ par la fonction

$\operatorname {F} (x,y,y',y'',\ldots ),$

la fonction

$\operatorname {F} (x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots ),$

développée suivant les puissances et les produits des quantités $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ deviendra

${\begin{aligned}\operatorname {F} &(x,y,y',y'',\ldots )+\omega \operatorname {F} '(y)+\omega '\operatorname {F} '(y')+\omega ''\operatorname {F} '(y'')+\ldots \\&+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\operatorname {F} ''(y)+\omega \omega '{\operatorname {F} '^{,}}'(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega '^{2}\operatorname {F} ''(y')+\ldots \\&+{\frac {1}{2.3}}\omega ^{2}\operatorname {F} '''(y)+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\omega '{\operatorname {F} ''^{,}}'(y,y')+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Je ne renferme ici entre les crochets, pour plus de simplicité, que les quantités par rapport auxquelles il faut prendre les fonctions dérivées indiquées par les accents.