de la valeur de
Donc elles le seront encore si, après ces substitutions, on les développe suivant les puissances et les produits de
Dénotons par
la totalité des termes du développement de
où les quantités,
ne se trouveront qu’à la première dimension ; par
la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, etc.
Dénotons de même par
la totalité des termes du développement de
où les mêmes quantités
se trouveront à la première dimension ; par
la totalité des termes où ces quantités formeront deux dimensions, etc.
On aura
pour le développement de
et
pour le développement de
Cette dernière série sera donc la fonction dérivée exacte de la première et il est facile de voir que chaque terme de l’une devra être la fonction dérivée de l’autre, tant que les quantités
demeureront indéterminées car, ces quantités n’étant qu’à la première dimension dans la fonction de
sa fonction primitive ne pourra contenir aussi que les premières dimensions des mêmes quantités ; par conséquent il n’y aura que le terme
qui puisse être sa fonction primitive. Il en est de même des termes correspondants
et
où ces quantités montent à la seconde dimension ; et ainsi de suite.
Il faut donc d’abord que la fonction
soit une dérivée exacte, indépendamment d’aucune relation entre
et
Or, puisque
est la partie du développement de
qui ne contient que les premières dimensions de
il est clair que cette fonction ne peut être que de la forme
![{\displaystyle {\overset {1}{\mathrm {V} }}=\mathrm {N\omega +P\omega '+Q\omega ''+R} \omega '''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2f07d2d94efa5db5a8ce6a8b6c450f817ee300c)
les coefficients
étant des fonctions de
sans
Ainsi tout se réduit à trouver les conditions nécessaires pour