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est la fonction primitive ; on aura $\operatorname {F} (x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )$ pour la fonction primitive de $f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )\,;$ donc la fonction primitive de $f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )-f(x,y,y',y'',\ldots )$ sera donnée.

De ce que nous venons de démontrer, il suit :

1^o Qu’une fonction quelconque de la forme $f(x,y,y',y'',\ldots )$ ne peut avoir une fonction primitive, indépendamment d’aucune relation entre $x$ et $y,$ à moins que l’équation de condition

$\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +\ldots =0,$

trouvée ci-dessus, n’ait lieu d’elle-même ;

2^o Que, toutes les fois que cette équation aura lieu, la fonction

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )-f(x,y,y',y'',\ldots )$

aura nécessairement une fonction primitive, quelle que soit la valeur de $\omega .$

Faisons maintenant $\omega =-y\,;$ la fonction $f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )$ se réduira à $f(x)$ et aura par conséquent toujours une fonction primitive, puisqu’elle ne contiendra plus qu’une variable. Donc aussi la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots )$ aura nécessairement une fonction primitive.

Or, ayant supposé que

$\mathrm {N\omega +P\omega '+Q\omega ''+R} \omega '''+\ldots$

sont les premiers termes du développement de la fonction proposée $\mathrm {V} ,$ lorsqu’on y augmente $y$ de $\omega ,$ $y'$ de $\omega ',$ $y''$ de $\omega '',\ldots ,$ c’est-à-dire de la fonction $f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots ),$ il est visible qu’on aura, en conservant la notation adoptée,

$\mathrm {N} =f'(y),\quad \mathrm {P} =f'(y'),\quad \mathrm {Q} =f'(y''),\quad \mathrm {R} =f(y'''),\quad \ldots \,;$

de sorte que l’équation de condition deviendra

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\left[f'(y''')\right]'''+\ldots =0.$

Cette formule est la même, à la notation près, que celle qu’Euler avait trouvée d’abord par une méthode indirecte, tirée de la considé-