ration de maximis et minimis, et que Condorcet a ensuite démontrée dans son Calcul intégral. Nous venons de prouver non seulement que la fonction proposée ne peut être une fonction dérivée exacte, à moins que l’équation de condition n’ait lieu, comme Euler et Condorcet l’avaient trouvée, mais encore que, si cette équation a lieu, la fonction sera nécessairement une dérivée exacte, ce qui restait, ce me semble, à démontrer ; car la démonstration qu’on en trouve dans le tome XV des Novi Commentarii de Pétersbourg est si compliquée, qu’il est difficile de juger de sa justesse et de sa généralité.
Si la fonction proposée contenait non seulement les variables avec les dérivées mais de plus une autre variable fonction indéterminée de avec ses dérivées on ferait, par rapport à cette dernière variable, des raisonnements et des opérations semblables à celles qu’on a faites relativement à la variable et l’on parviendraità une équation de condition pour entièrement analogue à celle qu’on a trouvée pour
Ainsi, pour qu’une fonction quelconque de la forme
soit une fonction dérivée exacte d’une fonction de l’ordre inférieur, indépendamment d’aucune relation particulière entre et on aura les deux équations de condition
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\left[f'(y''')\right]'''+\ldots =0,\\&f'(z)\,-\left[f'(z')\right]'+\left[f'(z'')\right]''-\left[f'(z''')\right]'''+\ldots =0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5779a22bcbff214726981d3f4c698649ed72ff74)
Et réciproquement, ces deux équations ayant lieu d’elles-mêmes, on sera assuré que la fonction proposée est une dérivée exacte, quelles que soient les fonctions et
Il se présente ici, avant d’aller plus loin, une remarque importante à faire.
Lorsqu’on a cherché les conditions nécessaires pour qu’une fonction donnée de soit d’elle-même une fonction dérivée exacte, on a regardé comme une fonction de mais inconnue ; c’est pour-
