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nera, par la substitution de $\mathrm {N}$ et de $\mathrm {N} ',$ l’équation de condition nécessaire pour que la quantité $u$ dans l’équation proposée puisse être une fonction de $x,y,y',$ indépendamment d’aucune relation entre $x$ et $y.$

On peut étendre la méthode de ce problème à un nombre quelconque de variables et d’équations.

Montrons maintenant, par quelques exemples, l’usage des équations de condition dont nous venons de donner la théorie, et d’abord ne considérons qu’une fonction du premier ordre de la forme $f(x,y,y')\,;$ l’équation de condition pour qu’elle soit une dérivée exacte sera

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'=0.$

Pour que cette équation puisse être identique, il faut que le second terme ne contienne pas de fonctions dérivées de $y$ plus hautes que le premier terme $f'(y)\,;$ or celui-ci ne peut contenir que la fonction $y'\,;$ donc il faudra que l’expression $f'(y'),$ dont la fonction dérivée forme le second terme, ne contienne pas $y',$ autrement il entrerait $y''$ dans le second terme. Il suit de là que la fonction proposée ne peut être que de la forme

$\Psi (x,y)+y'\varphi (x,y).$

En la représentant par $f(x,y,y'),$ et prenant les dérivées relatives à $y$ et à $y',$ on aura

$f'(y)=\Psi '(y)+y'\varphi '(y),\quad f'(y')=\varphi (x,y).$

Ainsi l’équation de condition sera mais

$\Psi '(y)+y'\varphi '(y)-\varphi '(x,y)=0\,;$

mais

$\varphi '(x,y)=\varphi '(x)+y'\varphi '(y)\,;$

donc l’équation se réduit à

$\Psi '(y)-\varphi '(x)=0,$

comme nous l’avons trouvé, par une autre voie, dans la Leçon XIX.