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La fonction proposée, en n’y faisant plus $x'=1$ aurait eu la forme

$x'\Psi (x,y)+y'\varphi (x,y),$

et l’on aurait eu, relativement à $x,$ l’équation de condition

$f'(x)-\left[f'(x')\right]'=0,$

laquelle devient

$x'\Psi '(x)+y'\varphi '(x)-\Psi '(x,y)=0\,;$

mais

$\Psi '(x,y)=x'\Psi '(x)+y'\Psi '(y)\,;$

donc

$y'\varphi '(x)-y'\Psi '(y)=0,$

savoir

$\varphi '(x)-\Psi '(y)=0,$

comme auparavant.

Supposons que la fonction proposée soit du second ordre et de la forme $f(x,y,y',y'')\,;$ l’équation de condition pour qu’elle soit une dérivée exacte sera

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''=0.$

Il est d’abord évident que, pour que cette équation puisse être identique, il faut que la valeur de $f'(y'')$ ne contienne point $y''\,;$ autrement la valeur de $\left[f'(y'')\right]''$ contiendrait $y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\,;$ et, comme les termes précédents ne peuvent contenir que $y,y',y'',y''',$ le terme contenante $y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}$ ne serait pas détruit.

La fonction proposée ne pourra donc être que de la forme

$\Psi (x,y,y')+y''\varphi (x,y,y').$

On aura ainsi, en la comparant à la forme générale $f(x,y,y',y''),$

${\begin{aligned}f'(y\ \ )=&\Psi '(y\ )+y''\varphi '(y),\\f'(y'\ )=&\Psi '(y')+y''\varphi '(y'),\\f'(y'')=&\varphi (x,y,y')\,;\end{aligned}}$

et l’équation de condition deviendra

$\Psi '(y)+y''\varphi '(y)-\left[\Psi '(y')\right]'-\left[y''\varphi '(y')\right]'+\varphi ''(x,y,y')=0.$