La fonction proposée, en n’y faisant plus
aurait eu la forme
![{\displaystyle x'\Psi (x,y)+y'\varphi (x,y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/664f220eaa76b5751ca61b8eacc3b3c5c0419b19)
et l’on aurait eu, relativement à
l’équation de condition
![{\displaystyle f'(x)-\left[f'(x')\right]'=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc135762e83f2d0c21355cd0e46a5adcef16d4c)
laquelle devient
![{\displaystyle x'\Psi '(x)+y'\varphi '(x)-\Psi '(x,y)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac59ef7d3ec440042c5f75e9d5288fd036334b74)
mais
![{\displaystyle \Psi '(x,y)=x'\Psi '(x)+y'\Psi '(y)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ca83e336a0b0411a2a51e53137177a972d807b)
donc
![{\displaystyle y'\varphi '(x)-y'\Psi '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d14fbef8d7ee52ed61e485a3bd2321e7a9eebcc)
savoir
![{\displaystyle \varphi '(x)-\Psi '(y)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa06e412c21b16d41905ac53843aca3c2d7a918)
comme auparavant.
Supposons que la fonction proposée soit du second ordre et de la forme
l’équation de condition pour qu’elle soit une dérivée exacte sera
![{\displaystyle f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cee638ac248cb9a99699a4a5e5044797dc853da1)
Il est d’abord évident que, pour que cette équation puisse être identique, il faut que la valeur de
ne contienne point
autrement la valeur de
contiendrait
et, comme les termes précédents ne peuvent contenir que
le terme contenante
ne serait pas détruit.
La fonction proposée ne pourra donc être que de la forme
![{\displaystyle \Psi (x,y,y')+y''\varphi (x,y,y').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a047c406a5f5518217e941668b243c45f08c1b9)
On aura ainsi, en la comparant à la forme générale
![{\displaystyle {\begin{aligned}f'(y\ \ )=&\Psi '(y\ )+y''\varphi '(y),\\f'(y'\ )=&\Psi '(y')+y''\varphi '(y'),\\f'(y'')=&\varphi (x,y,y')\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bff11e198c92aa35738069f9ea6154bdd2bc8b48)
et l’équation de condition deviendra
![{\displaystyle \Psi '(y)+y''\varphi '(y)-\left[\Psi '(y')\right]'-\left[y''\varphi '(y')\right]'+\varphi ''(x,y,y')=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7490b4bea7c869a5ec79913af59a3d317fdd5183)