nées et des arcs de celle-là, l’aire de la seconde courbe forme un maximum où un minimum ; et les difficultés de ce problème, jointes à la célébrité que les recherches des deux frères Bernoulli, de Taylor et d’Euler lui acquirent, ont fait donner en général le nom d’isopérimètres à tous Les problèmes dans lesquels il s’agit de trouver des courbes qui jouissent de quelque propriété de maximum ou minimum, avec ou sans la condition de l’égalité des longueurs de la courbe.
Lorsqu’on veut avoir égard à cette condition, il ne suffit pas de faire varier une seule ordonnée, comme dans les problèmes où l’on demande un maximum où un minimum absolu ; il faut alors faire varier à la fois deux indéterminées, tant dans l’expression qui doit être un maximum ou minimum que dans celle qui doit demeurer constante, et égaler séparément à zéro les résultats de ces variations, ou les différentielles de ces deux expressions, comme dans les problèmes ordinaires de maximis et minimis, lorsqu’il y a quelque condition particulière à remplir entre les variables.
Jean Bernoulli, dans un Mémoire destiné à résoudre les problèmes sur les isopérimètres proposés par son frère Jacques, et qui se trouve dans le Recueil de l’Académie des Sciences de 1706, avait cru pouvoir satisfaire à la fois à la condition du maximum ou minimum et à celle de l’isopérimétrisme, en ne considérant que deux éléments ou côtés de la courbe, et en faisant varier à la fois l’abscisse et l’ordonnée qui répondent à l’angle de ces deux lignes droites, de manière que leur somme demeurât constante. En effet, si la question roulait sur des quantités finies, elle pourrait se résoudre de cette manière ; mais il arrive ici, par la nature des infiniment petits, que l’équation finale devient purement identique, et ne fait par conséquent rien connaitre. Jean Bernoulli parvint à un autre résultat, et erut avoir ainsi résolu les problèmes ; mais son analyse est erronée et pèche contre les principes du Calcul infinitésimal.
Jacques Bernoulli est le premier qui ait reconnu, dans ces sortes de questions, la nécessité de considérer trois côtés consécutifs de la courbe, et de faire varier à la fois les deux ordonnées consécutives qui ré-
