nant autour de son axe, produit le solide qui, étant mû dans un fluide suivant la direction de son axe, éprouve la moindre résistance possible, et il a donné, sans démonstration, une proportion qui suffit pour construire la courbe par les tangentes, et qui en est comme l’équation différentielle.
Mais c’est proprement du fameux problème de la brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente, proposé en 1693 par Jean Bernoulli, que date la découverte d’une analyse propre à ces sortes de recherches.
Suivant l’esprit du Calcul différentiel qui suppose les courbes formées d’une infinité de droites infiniment petites, on considère deux côtés contigus de la courbe cherchée, et l’on détermine leur position respective de manière que la quantité proposée devienne un maximum ou un minimum, en ne faisant varier que l’ordonnée qui répond à l’angle formé par ces deux côtés. De cette manière, le problème rentre dans l’ancien genre, et la difficulté ne consiste plus qu’à ramener le résultat de la solution à la forme différentielle. C’est ainsi qu’on a trouvé d’abord que la courbe de la plus vite descente doit être telle que le sinus de l’angle, qu’un de ses côtés quelconques infiniment petits fait avec la verticale, soit proportionnel à la vitesse, laquelle est comme la racine carrée de la hauteur d’où le corps est parti ; et cette proportion, réduite en équation différentielle, donne la cycloïde. On a trouvé de la même manière que le solide rond de la moindre résistance est formé par une courbe qui a la propriété énoncée par Newton dans le scolie de la Proposition XXXV de la seconde Partie de ses Principes. On a appliqué ensuite la même méthode à des problèmes plus compliqués, tels que celui des isopérimètres, où il s’agissait de trouver, entre toutes les courbes possibles qui ont le même périmètre ou la même longueur, celles qui, entre des limites-données, renfermaient les plus grands ou les plus petits espaces, ou, en faisant une révolution autour de leurs axes, produisaient les plus grandes ou les plus petites superficies, ou les plus grands ou les plus petits solides, ou enfin une courbe telle qu’en construisant sur son axe une seconde courbe dont les ordonnées soient des fonctions quelconques des ordon-
