calcul, à une petite portion de la courbe, lorsque la fonction différentielle dépendra d’une quantité donnée, simplement par une équation différentielle non intégrable en général ; c’est pourquoi on doit regarder comme fausse la solution qu’Euler lui-même a donnée du problème de la brachistochrone dans un milieu résistant comme une fonction de la vitesse, dans le Tome VII des anciens Commentaires de Pétersboug, et dans le second Volume de sa Mécanique, et l’on peut s’en convaincre en la comparant à celle qu’on trouve dans son Ouvrage de 1744, intitulé Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimique proprietate gaudentes (Art. 46).
C’est proprement dans ce dernier Ouvrage qu’Euler a donné une solution générale et complète du problème des isopérimètres. Pour trouver les conditions du maximum ou minimum, il se contente de faire varier une seule ordonnée de la courbe, et il en déduit la valeur différentielle de la formule, qui doit être un maximum ou un minimum, en substituant à la place des différentielles de l’ordonnée les différences successives des données consécutives, et à la place des expressions intégrales les sommes des éléments répondant à toute l’étendue de la courbe. Son calcul devient ainsi très long, surtout par les suites infinies qui s’y mêlent, lorsque la fonction proposée contient différentes intégrales, et dont il faut déterminer la somme pour parvenir à des résultats nets et précis ; et l’on ne peut trop admirer l’adresse avec laquelle l’auteur surmonte ces difficultés, et obtient, en dernière analyse, des formules simples, générales et élégantes. Son Ouvrage est d’ailleurs très précieux par le nombre et la beauté des exemples qu’il contient, et il n’y en a peut-être aucun qui puisse être plus utile à ceux qui désirent s’exercer sur le Calcul intégral.
Jusqu’alors on avait traité séparément, et par des procédés différentes les problèmes où il suffit de varier une ordonnée, et ceux qui demandent la variation de deux ou de plusieurs ordonnées consécutives.
Euler a remarqué le premier que tous les problèmes de ce genre pouvaient être rappelés à une même analyse, parce que l’uniformité qui doit régner dans les opérations relatives aux différents points d’une
