même courbe fait que, dès qu’on a trouvé le résultat de la variation d’une ordonnée, la même expression, rapportée à l’ordonnée qui suit immédiatement, donnera aussi le résultat de la variation de cette ordonnée, et ainsi des autres.
Cette remarque a conduit Euler à un beau théorème et de la plus grande utilité dans cette matière c’est que, pour trouver une courbe qui ne jouisse d’une propriété de maximum ou minimum que parmi toutes les courbes qui ont une ou plusieurs propriétés connues, il suffit d’ajouter à l’expression de la propriété qui doit être un maximum ou un minimum celles des autres propriétés connues, multipliées chacune par un coefficient constant et arbitraire, et chercher ensuite la courbe dans laquelle cette expression composée sera un maximum ou un minimum entre toutes les courbes possibles.
En effet, si l’on désigne, comme Euler, par ou simplement par l’incrément infiniment petit de l’ordonnée et par la valeur différentielle de la formule intégrale indéfinie qui doit être un maximum ou un minimum, on aura pour la valeur différentielle de la même formule, provenant de l’incrément de l’ordonnée suivante en supposant que soit ce que devient lorsque devient et que toutes les autres variables sont rapportées à l’ordonnée
Et l’on aurait de même pour la valeur différentielle de la même formule, provenant de l’incrément de l’ordonnée suivante où est ce que devient lorsque devient et ainsi de suite.
Or, en regardant, suivant les principes du Calcul différentiel, les ordonnéesy, comme infiniment proches, on a
par conséquent on aura aussi
Ainsi, en faisant varier à la fois les deux ordonnées voisines et
