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tité $i,$ dans lesquelles cette quantité est supposée nulle. Ainsi ${\overset {.}{y}}$ sera la variation du premier ordre de $y,$ ${\overset {.}{y}}\,'$ sera la dérivée ordinaire de cette variation, ${\overset {..}{y}}$ sera la variation du second ordre de $y,$ et ainsi de suite. De même, $\mathrm {{\overset {.}{V}},{\overset {..}{V}},\ldots }$ seront les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de $\mathrm {V} \,;$ et $\mathrm {{\overset {.}{U}},{\overset {..}{U}},\ldots }$ seront aussi les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de $\mathrm {U} .$ Et pour former ces variations, on suivra les mêmes règles que pour les fonctions dérivées ordinaires.

Ainsi, en faisant

$\mathrm {V} =f(x,y,y',y'',\ldots ),$

on aura, suivant la notation employée dans ces Leçons,

${\overset {.}{\mathrm {V} }}={\overset {.}{y}}f'(y)+{\overset {.}{y}}\,'f'(y')+{\overset {.}{y}}\,''f'(y'')+\ldots .$

Il est visible que cette fonction ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ est la même chose que celle que nous avons désignée par ${\overset {1}{\mathrm {V} }}$ au commencement de la Leçon précédente, en changeant seulement ${\overset {.}{y}}$ en $\omega ,$ parce que nous avons supposé alors que l’accroissement de $y$ était représenté simplement par $i\omega .$

Maintenant, puisque $\mathrm {U}$ est supposé la fonction primitive de $\mathrm {V}$ en $y$ faisant $y=\varphi (x),$ quelle que soit la fonction $\varphi (x),$ elle le sera aussi en faisant $y=\varphi (x,i).$ Dans ce cas, nous avons vu que $\mathrm {U}$ devient

$\mathrm {U} +i{\overset {.}{\mathrm {U} }}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{\mathrm {U} }}+\ldots ,$

et $\mathrm {V}$ devient

$\mathrm {V} +i{\overset {.}{\mathrm {V} }}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{\mathrm {V} }}+\ldots ,$

de sorte que, comme $i$ peut être une quantité quelconque, il faudra que les variations $\mathrm {{\overset {.}{U}},{\overset {..}{U}}} ,\ldots$ soient respectivement aussi les fonctions primitives des variations $\mathrm {{\overset {.}{V}},{\overset {..}{V}}} ,\ldots \,;$ ainsi on aura

$\mathrm {{\overset {.}{U}}\,'={\overset {.}{V}},\quad {\overset {..}{U}}\,'={\overset {..}{V}},\quad \ldots } .$

La condition du maximum ou minimum consiste donc en ce que la fonction primitive de $\mathrm {V}$ soit nulle, quelle que soit la valeur de ${\overset {.}{y}}.$ Or si, pour plus de simplicité, on représente la valeur de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$ par la formule

$\mathrm {N} {\overset {.}{y}}+\mathrm {P} {\overset {.}{y}}\,'+\mathrm {Q} {\overset {.}{y}}\,''+\mathrm {R} {\overset {.}{y}}\,'''+\ldots ,$