tité
dans lesquelles cette quantité est supposée nulle. Ainsi
sera la variation du premier ordre de
sera la dérivée ordinaire de cette variation,
sera la variation du second ordre de
et ainsi de suite. De même,
seront les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de
et
seront aussi les variations du premier ordre, du second ordre, etc., de
Et pour former ces variations, on suivra les mêmes règles que pour les fonctions dérivées ordinaires.
Ainsi, en faisant
![{\displaystyle \mathrm {V} =f(x,y,y',y'',\ldots ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf33e97340931b7e7cc3093ead054e94addf7925)
on aura, suivant la notation employée dans ces Leçons,
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {V} }}={\overset {.}{y}}f'(y)+{\overset {.}{y}}\,'f'(y')+{\overset {.}{y}}\,''f'(y'')+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e49cbf2f875e36e4220728483bd5192f031ec19)
Il est visible que cette fonction
est la même chose que celle que nous avons désignée par
au commencement de la Leçon précédente, en changeant seulement
en
parce que nous avons supposé alors que l’accroissement de
était représenté simplement par
Maintenant, puisque
est supposé la fonction primitive de
en
faisant
quelle que soit la fonction
elle le sera aussi en faisant
Dans ce cas, nous avons vu que
devient
![{\displaystyle \mathrm {U} +i{\overset {.}{\mathrm {U} }}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{\mathrm {U} }}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660f4b61b4a407949166f1278a4076eb1f96936c)
et
devient
![{\displaystyle \mathrm {V} +i{\overset {.}{\mathrm {V} }}+{\frac {i^{2}}{2}}{\overset {..}{\mathrm {V} }}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fdf6221d698fc7cfc3bc853a40ce84521c46d43)
de sorte que, comme
peut être une quantité quelconque, il faudra que les variations
soient respectivement aussi les fonctions primitives des variations
ainsi on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\overset {.}{U}}\,'={\overset {.}{V}},\quad {\overset {..}{U}}\,'={\overset {..}{V}},\quad \ldots } .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb8030d975c874a57f1424e966fcef8aeeb3e2c)
La condition du maximum ou minimum consiste donc en ce que la fonction primitive de
soit nulle, quelle que soit la valeur de
Or si, pour plus de simplicité, on représente la valeur de
par la formule
![{\displaystyle \mathrm {N} {\overset {.}{y}}+\mathrm {P} {\overset {.}{y}}\,'+\mathrm {Q} {\overset {.}{y}}\,''+\mathrm {R} {\overset {.}{y}}\,'''+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e44570f4472d5edaeef075384381ab0945a7f7b)