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nant la fonction primitive de ${\overset {.}{\mathrm {V} }}$

${\begin{aligned}{\overset {.}{\mathrm {U} }}&=\mathrm {\left(P-Q'+R''-\ldots \right)} {\overset {.}{y}}\\&+\mathrm {\left(Q-R'+\ldots \right)} {\overset {.}{y}}\,'\\&+(\mathrm {R} \,-\ldots ){\overset {.}{y}}\,''\\&\ \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {K} ,\end{aligned}}$

la quantité $\mathrm {K}$ étant une constante arbitraire.

Cette fonction ayant maintenant une valeur déterminée, pour que cette valeur soit nulle entre les limites données, il faudra que la différence des valeurs qui répondent à ces limites soit nulle.

Désignons par ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}$ et ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}$ les valeurs de ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ qui répondent à la première et à la seconde limite, dans lesquelles $x$ aura des valeurs données, et représentons de la même manière les valeurs des autres quantités dans ces limites ; on aura cette équation particulière aux limites ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0,$ savoir

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {\left(P_{1}-Q_{1}'+R_{1}''-\ldots \right)} {\overset {.}{y}}_{1}\\&\mathrm {\left(Q_{1}-R_{1}'+\ldots \right)} {\overset {.}{y}}\,'_{1}\\&(\mathrm {R} _{1}\,-\ldots ){\overset {.}{y}}\,''_{1}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \\&\mathrm {\left(P_{0}-Q_{0}'+R_{0}''-\ldots \right)} {\overset {.}{y}}_{0}\\&\mathrm {\left(Q_{0}-R_{0}'+\ldots \right)} {\overset {.}{y}}\,'_{0}\\&(\mathrm {R} _{0}\ -\ldots ){\overset {.}{y}}\,''_{0}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}=0,$

à laquelle on devra satisfaire comme aux équations pour les maxima et minima du genre ordinaire ; et les conditions qui en résulteront serviront à déterminer les constantes arbitraires que la valeur de $y$ en $x$ pourra admettre.

Si les valeurs de $y,y',y'',\ldots$ étaient supposées données aux deux limites, alors il est visible que les variations ${\overset {.}{y}}_{0},{\overset {.}{y}}\,'_{0},{\overset {.}{y}}\,''_{0},\ldots$ et ${\overset {.}{y}}_{1},{\overset {.}{y}}\,'_{1},{\overset {.}{y}}\,''_{1},\ldots$ seraient nulles à la fois ; par conséquent l’équation, ayant lieu d’elle-même, ne donnerait aucune condition à remptir.

Si au contraire aucune de ces valeurs n’était donnée, alors il fau-