drait égaler séparément à zéro tous les coefficients de ces mêmes variations, ce qui donnerait autant d’équations relatives à chacune des deux limites.
Mais il arrive le plus souvent que les valeurs de et de ses dérivées aux deux limites ne sont ni toutes données ni toutes arbitraires, mais qu’il y a entre elles des relations données par la nature du problème. Alors il faudra, par le moyen de ces relations, réduire les variations dans les deux limites au plus petit nombre possible, et égaler à zéro les coefficients de celles qui demeureront indéterminées.
L’équation générale
que nous venons de trouver pour le maximum ou minimum de la fonction primitive de est, comme l’on voit, la même que celle que nous avons trouvée dans la Leçon précédente pour l’existence de cette fonction, indépendamment d’aucune relation entre les variables.
On voit maintenant la raison de cette identité des formules par la conformité des opérations analytiques dans les deux cas.
Il est d’ailleurs évident que, lorsque la fonction est d’elle-même une dérivée exacte, sa fonction primitive est une fonction déterminée de qui doit alors être rapportée aux deux limites, de manière que l’équation
ne doit plus donner de relation entre et et par conséquent doit se vérifier d’elle-même.
C’est par cette considération qu’Euler a trouvé le premier cette même équation, ou plutôt l’équation équivalente
pour la condition de l’intégrabilité de la formule Condorcet a observé ensuite que, si la formule était intégrable, il fallait que la variation le fût aussi ; et de là il a conclu que les équations
