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LEÇON CINQUIÈME.

Fonctions dérivées des sinus et cosinus d’angles, et des angles exprimés par les sinus et cosinus. Développement de ces quantités en séries.

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Les angles n’entrent dans l’Analyse que par le moyen de leurs sinus et cosinus, qu’on dénote par les mots $\sin$ et $\cos ,$ placés comme caractéristiques avant les angles. On a ainsi les fonctions angulaires $\sin x$ et $\cos x,$ dont la propriété générale, tirée de la nature du cercle, est qu’en prenant deux angles quelconques $x$ et $y,$ on a

${\begin{aligned}\sin(x+y)=&\sin x\cos y+\cos x\sin y,\\\cos(x+y)=&\cos x\cos y-\sin x\sin y.\end{aligned}}$

Cela posé, pour avoir les fonctions dérivées de $\sin x$ et $\cos x,$ il n’y aura qu’à mettre $x+i$ à la place de $x,$ et développer ensuite les fonctions

$\sin(x+i)\quad {\text{et}}\quad \cos(x+i)$

suivant les puissances de $i\,;$ les coefficients de $i$ dans ces développements seront les dérivées cherchées. Or, par les formules précédentes, on a

${\begin{aligned}\sin(x+i)=&\sin x\cos i+\cos x\sin i,\\\cos(x+i)=&\cos x\cos i-\sin x\sin i.\end{aligned}}$

Ainsi tout se réduit à développer en séries les quantités $\sin i$ et $\cos i.$

J’observe d’abord que, quelle que puisse être la série du développement de $\sin i,$ elle ne saurait être que de la forme

$\mathrm {A} i^{m}+\mathrm {B} i^{n}+\ldots ,$

$m,n,\ldots$ étant des nombres positifs et qui vont en augmentant ; car le