Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 10.djvu/41

d’un autre côté, on a

${\begin{aligned}e^{i(p+q+r+\ldots )}&=e^{ip}e^{iq}e^{ir}\ldots \\&=\left(1+ip+{\frac {i^{2}p^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}p^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&\times \,\left(1+iq+{\frac {i^{2}q^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}q^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&\times \,\left(1+ir+{\frac {i^{2}r^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}r^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&\times \,\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc le coefficient de $i^{m},$ dans le développement de ces différents produits, multiplié par $1.2.3\ldots m,$ sera la valeur de $(p+q+r+\ldots )^{m}.$

Or il est visible que ce coefficient se trouvera composé d’autant de termes de la forme

${\frac {p^{\lambda }q^{\mu }r^{\nu }\ldots }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times \ldots }}$

qu’on peut donner de valeurs différentes à $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots ,$ de sorte que l’on ait

$\lambda +\mu +\nu +\ldots =m,$

en prenant pour $\lambda ,\mu ,\nu ,\ldots$ des nombres entiers positifs.

Ainsi la puissance $(p+q+r+\ldots )^{m}$ sera composée d’autant de termes de la forme

${\frac {1.2.3.4\ldots m.p^{\lambda }q^{\mu }r^{\nu }\ldots }{1.2.3\ldots \lambda \times 1.2.3\ldots \mu \times 1.2.3\ldots \nu \times \ldots }},$

ce qui s’accorde avec ce que donne la théorie des combinaisons.