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Pour le résoudre de la manière la plus générale, on cherchera les variations des fonctions $\mathrm {V,L,M} ,\ldots ,$ dues aux variations de $y,z,t,\ldots ,$ et désignant ces variations par $\mathrm {{\overset {.}{V}},{\overset {.}{L}},{\overset {.}{M}}} ,\ldots ,$ on considérera la formule

$\mathrm {{\overset {.}{\mathrm {V} }}+\lambda {\overset {.}{\mathrm {L} }}+\mu {\overset {.}{\mathrm {M} }}} +\ldots ,$

dans laquelle $\lambda ,\mu ,\ldots$ sont supposées des variables indéterminées.

On fera sur cette formule les transformations enseignées plus haut, par lesquelles les fonctions dérivées des variations ${\overset {.}{y}},{\overset {.}{z}},{\overset {.}{t}},\ldots$ ne paraissent plus que dans des termes qui sont des fonctions dérivées exactes. Elle deviendra ainsi de la forme

${\begin{aligned}&\ \ \ \mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}+\mathrm {T} {\overset {.}{t}}+\ldots \\+&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots \right)'\\+&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''+\ldots \right)'\\+&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,''+\ldots \right)'\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et l’on aura d’abord les équations générales

$\mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =0,\quad \mathrm {T} =0,\quad \ldots ,$

qui, étant combinées avec les équations de condition

$\mathrm {L} =0,\quad \mathrm {M} =0,\quad \ldots ,$

serviront à déterminer les variables $y,z,t,\ldots ,$ $\lambda ,\mu ,\ldots .$

Ensuite, faisant

${\begin{aligned}\left({\overset {.}{\mathrm {U} }}\right)=&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots \\+&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''+\ldots \\+&{\overset {\shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,''+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

on aura l’équation aux limites $\mathrm {\left({\overset {.}{U}}_{1}\right)-\left({\overset {.}{U}}_{0}\right)} =0,$ à laquelle on devra satisfaire, indépendamment des variations ${\overset {.}{y}},{\overset {.}{y}}\,',\ldots ,{\overset {.}{z}},{\overset {.}{z}}\,',\ldots .$