Pour le résoudre de la manière la plus générale, on cherchera les variations des fonctions
dues aux variations de
et désignant ces variations par
on considérera la formule
![{\displaystyle \mathrm {{\overset {.}{\mathrm {V} }}+\lambda {\overset {.}{\mathrm {L} }}+\mu {\overset {.}{\mathrm {M} }}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293de3c4c04527a77e2a958d55da176a7d8a0e85)
dans laquelle
sont supposées des variables indéterminées.
On fera sur cette formule les transformations enseignées plus haut, par lesquelles les fonctions dérivées des variations
ne paraissent plus que dans des termes qui sont des fonctions dérivées exactes. Elle deviendra ainsi de la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\ \ \ \mathrm {Y} {\overset {.}{y}}+\mathrm {Z} {\overset {.}{z}}+\mathrm {T} {\overset {.}{t}}+\ldots \\+&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots \right)'\\+&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''+\ldots \right)'\\+&\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,''+\ldots \right)'\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e12eaa0e3cb10306dfa9562838e521237ff296)
Et l’on aura d’abord les équations générales
![{\displaystyle \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =0,\quad \mathrm {T} =0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ea4e82b8489a9e093d9a7429641729fa85fc148)
qui, étant combinées avec les équations de condition
![{\displaystyle \mathrm {L} =0,\quad \mathrm {M} =0,\quad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba827a32cdf6390c25e113f56c30ab897f207700)
serviront à déterminer les variables
![{\displaystyle \lambda ,\mu ,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c0d4bd5fe1039e48446a040b6ddef65e8f34f0)
Ensuite, faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\overset {.}{\mathrm {U} }}\right)=&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}+{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,'+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}{\overset {.}{y}}\,''+\ldots \\+&{\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}{\overset {.}{z}}\,''+\ldots \\+&{\overset {\shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\ +{\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,'\,+{\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {T} }}{\overset {.}{t}}\,''+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d126752523b9e709fa07de0eb5c7c766514e08)
on aura l’équation aux limites
à laquelle on devra satisfaire, indépendamment des variations ![{\displaystyle {\overset {.}{y}},{\overset {.}{y}}\,',\ldots ,{\overset {.}{z}},{\overset {.}{z}}\,',\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16a6d1e3f946a5e78a84c0bd2b8b6061642d8c6)