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On aurait ensuite

${\overset {.}{\mathrm {U} }}=\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Y} }}\right){\overset {.}{y}}\,'+\ldots +\left[1+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)\right]{\overset {.}{z}}+\left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}\right)z'+\ldots .$

L’équation $(\mathrm {Z} )=0$ servira à déterminer la variable $\lambda ,$ et l’équation $(\mathrm {Y} )=0,$ combinée avec l’équation donnée $\operatorname {F} (x,y,y',\ldots ,z,z',\ldots )=0,$ donnera la valeur de $y$ en $x.$ Soit $z^{(n)}$ la plus haute dérivée de $z$ qui entre dans cette équation ; l’équation $(\mathrm {Z} )=0$ sera linéaire et de l’ordre $n,$ par rapport à $\lambda \,;$ la valeur de $\lambda$ contiendra donc autant de constantes arbitraires et linéaires aussi, qui serviront à faire évanouir les variations ${\overset {.}{z}}_{1},{\overset {.}{z}}_{1}',\ldots$ dans l’équation des limites ; les variations ${\overset {.}{z}}_{0},{\overset {.}{z}}_{0}',\ldots$ étant censées données par la nature du problème, comme nous venons de le remarquer.

Il faudra donc déterminer ces constantes de manière que l’on ait

$1+\left({\overset {\shortmid }{\mathrm {Z} }}_{1}\right)=0,\quad \left({\overset {\shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}_{1}\right)=0,\quad \left({\overset {\shortmid \ \shortmid \ \shortmid }{\mathrm {Z} }}_{1}\right)=0,\quad \ldots ,$

et l’on remplira ces conditions en faisant simplement

$\lambda _{1}=0,\quad \lambda '_{1}=0,\quad \ldots ,\quad \lambda _{1}^{(n-1)}=0,$

et de plus

$\lambda ^{(n)}\operatorname {F} '\left(z^{(n)}\right)_{1}+1=0.$

Ceci revient à la solution donnée dans le Tome IV des Mémoires de Turin^[1].

En général, soit $\mathrm {V}$ une fonction quelconque des variables $x,y,z,t,\ldots$, et de leurs dérivées d’un ordre quelconque, à l’exception de $x,$ dont la dérivée soit supposée l’unité ; et soient $\mathrm {L} =0,\ \mathrm {M} =0,\ldots$ des équations de condition entre ces variables et leurs dérivées, dont le nombre ne surpasse pas celui des variables diminué de deux unités, afin qu’il reste des relations indéterminées entre les mêmes variables.

Le problème de maximis et minimis, dont il s’agit ici, consiste à déterminer ces relations de manière que la fonction primitive de $\mathrm {V}$ devienne un maximum ou un minimum entre des limites données, correspondantes à des valeurs données de $x.$

1. Œuvres de Lagrange, t. II, p. 37.