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On voit d’abord ici qu’il est impossible que la double fonction primitive de $\mathrm {\overset {.}{V}}$ devienne nulle, quelle que soit la variation ${\overset {.}{z}},$ à moins que les termes affectés simplement de ${\overset {.}{z}}$ ne disparaissent ; ce qui donne d’abord l’équation générale du maximum ou minimum

$\mathrm {L-M'^{,}-N^{,}\,\!'+P''^{,}+Q'^{,}\,\!'+R^{,}\,\!''} +\ldots =0.$

La première ligne de l’expression de $\mathrm {\overset {.}{V}}$ étant effacée, si l’on prend maintenant les doubles fonctions primitives de part et d’autre, on aura

${\begin{aligned}{\overset {.}{\mathrm {U} }}&=\left(\mathrm {M} {\overset {.}{z}}+\mathrm {P} {\overset {.}{z}}\,\!'^{,}-\mathrm {P} '^{,}{\overset {.}{z}}+\mathrm {Q} {\overset {.}{z}}\,^{,}\,\!'\right)'^{,}\\&+\left(\mathrm {N} {\overset {.}{z}}+\mathrm {R} {\overset {.}{z}}\,^{,}\,\!'-\mathrm {R} ^{,}\,\!'{\overset {.}{z}}-\mathrm {Q} '^{,}{\overset {.}{z}}\right)^{,}\,\!'.\end{aligned}}$

Comme il n’y a plus ici que des fonctions primitives simples, chacune d’elles se rapporte uniquement à une des variables $x,y,$ en regardant l’autre de ces variables comme déterminée par l’équation qui donne la courbe des limites entre lesquelles le maximum ou minimum doit avoir lieu.

Le cas le plus simple est lorsque le contour de la surface représentée par l’équation en $x,y,z$ est supposé tout à fait donné et invariable. Alors les variations de $z$ et de ses dérivées sont nulles relativement à la courbe de ce contour, et par conséquent aussi dans toute l’étendue des fonctions primitives simples de la variation ${\overset {.}{\mathrm {U} }},$ et la condition de $\mathrm {U} =0$ se trouve remplie d’elle-même.

L’équation du maximum ou minimum sera donc, en substituant les valeurs de $\mathrm {L,M} ,\ldots ,$

$f'(z)-\left[f'\left(z'^{,}\right)\right]'^{,}-\left[f'\left(z^{,}\,\!'\right)\right]^{,}\,\!'+\left[f'\left(z''^{,}\right)\right]''^{,}+\left[f'\left(z'^{,}\,\!'\right)\right]'^{,}\,\!'+\left[f'\left(z^{,}\,\!''\right)\right]^{,}\,\!''+\ldots =0,$

qu’on voit être du genre de celles que nous avons considérées dans les Leçons XIX et XX, et dont les équations primitives contiennent des fonctions arbitraires.

Les cas plus compliqués se résoudront par des considérations analogues à celles que nous avons faites sur les problèmes ou l’on ne cherche que des fonctions d’une variable.

Pour donner maintenant quelques applications des méthodes et des