formules que nous venons d’exposer, nous prendrons d’abord le problème le plus simple de ce genre, qui consiste à trouver la ligne la plus courte entre des termes donnés. En supposant que la ligne cherchée soit toute dans un même plan, et prenant
pour ses coordonnées, la longueur de la ligne sera exprimée en général par la fonction primitive de l’expression
qui, étant représentée par
ou
donnera
![{\displaystyle f'(y)=0,\quad f'(y')={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d35e6b866766920ee7f5e5977cb76b062b54c8)
Ainsi l’équation générale du maximum ou minimum sera
![{\displaystyle -\left({\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)'=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b43b1acea774e9829f67d58d232fc23a924852b)
Ensuite on aura
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a133fe601dba4b37defb36850988c6adfeee501b)
et l’équation aux limites sera
![{\displaystyle {\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ddf2fe75223c512561db123afe24c36bc02695)
L’équation générale donne tout de suite
![{\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=\mathrm {const} .\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1e7b6a8e129cf970ab6c4cd559d04e84af1c23)
d’où l’on tire
![{\displaystyle y'=b,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad y=bx+c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505e3cdc60dbc56d43486562560b2f31a84a6e6c)
et
étant deux constantes arbitraires ; ce qui est l’équation générale, de la ligne-droite.
Si les deux extrémités de la ligne étaient données, on aurait
et
par conséquent l’équation aux limites aurait lieu sans aucune condition.
En général, l’équation aux limites se réduira à
![{\displaystyle a\left({\overset {.}{y}}_{1}-{\overset {.}{y}}_{0}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bc0e470f9d471cef14c5a8e13fcd692f89713c)
où
de sorte que, si la ligne cherchée devait être terminée