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formules que nous venons d’exposer, nous prendrons d’abord le problème le plus simple de ce genre, qui consiste à trouver la ligne la plus courte entre des termes donnés. En supposant que la ligne cherchée soit toute dans un même plan, et prenant $x,y$ pour ses coordonnées, la longueur de la ligne sera exprimée en général par la fonction primitive de l’expression ${\sqrt {1+y'^{2}}}$ qui, étant représentée par $\mathrm {V}$ ou $f(x,y,y'),$ donnera

$f'(y)=0,\quad f'(y')={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}.$

Ainsi l’équation générale du maximum ou minimum sera

$-\left({\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\right)'=0.$

Ensuite on aura

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}y,$

et l’équation aux limites sera

${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}-{\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0.$

L’équation générale donne tout de suite

${\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=\mathrm {const} .\,;$

d’où l’on tire

$y'=b,\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad y=bx+c,$

$b$ et $c$ étant deux constantes arbitraires ; ce qui est l’équation générale, de la ligne-droite.

Si les deux extrémités de la ligne étaient données, on aurait ${\overset {.}{y}}_{1}=0\,;$ et ${\overset {.}{y}}_{1}=0\,;$ par conséquent l’équation aux limites aurait lieu sans aucune condition.

En général, l’équation aux limites se réduira à

$a\left({\overset {.}{y}}_{1}-{\overset {.}{y}}_{0}\right)=0,$

où $a={\frac {b}{\sqrt {1+b^{2}}}}\,;$ de sorte que, si la ligne cherchée devait être terminée