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d’où l’on tire

${\frac {y'}{\mathrm {V} }}=a,\quad {\frac {z'}{\mathrm {V} }}=b,$

$a$ et $b$ étant des constantes arbitraires ; et comme $\mathrm {\mathrm {V} } ={\sqrt {1+y'^{2}+z'^{2}}},$ il s’ensuit que $y'$ et $z'$ auront des valeurs constantes qui, étant désignées par $c$ et $d,$ donneront tout de suite

$y=cx+m,\quad z=dx+n,$

$m$ et $n$ étant aussi des constantes arbitraires.

Ces deux équations font voir que la ligne cherchée est une droite dont la position est arbitraire.

Il faut maintenant considérer l’équation aux limites, laquelle, si l’on suppose les deux limites indépendantes l’une de l’autre, se partage tout de suite en ces deux-ci

${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0,\quad {\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}=0,$

savoir,

$y_{0}'{\overset {.}{y}}_{0}+z_{0}'{\overset {.}{z}}_{0}=0,\quad y_{1}'{\overset {.}{y}}_{1}+z_{1}'{\overset {.}{z}}_{1}=0,$

équations qui auront lieu d’elles-mêmes, si les deux extrémités de la ligne sont supposées données de position, parce qu’alors les variations des ordonnées $y$ et $z$ seront nulles dans ces deux points.

Mais, si la ligne la plus courte doit être comprise entre deux lignes données, alors il faudra, comme nous l’avons fait plus haut, tenir compte des variations des coordonnées $x,y,z$ à l’une et à l’autre de ses extrémités.

Pour cela, il faudra d’abord ajouter à la valeur de ${\overset {.}{\mathrm {U} }}$ le terme ${\overset {.}{\mathrm {V} }}x,$ et y changer en même temps ${\overset {.}{y}}$ et ${\overset {.}{z}}$ en ${\overset {.}{y}}-y'{\overset {.}{x}},\ {\overset {.}{z}}-z'{\overset {.}{x}}.$ On aura ainsi, à cause de $\mathrm {V} ^{2}=1+y'^{2}+z'^{2},$ après les réductions,

${\overset {.}{\mathrm {U} }}={\frac {{\overset {.}{x}}+y'{\overset {.}{y}}+z'{\overset {.}{z}}}{\mathrm {V} }},$

et les deux équations aux limites ${\overset {.}{\mathrm {U} }}_{0}=0,\ {\overset {.}{\mathrm {U} }}_{1}=0$ deviendront

${\begin{aligned}{\overset {.}{x}}_{0}+y_{0}'{\overset {.}{y}}_{0}+z_{0}'{\overset {.}{z}}_{0}=0,\\{\overset {.}{x}}_{1}+y_{1}'{\overset {.}{y}}_{1}+z_{1}'{\overset {.}{z}}_{1}=0.\end{aligned}}$