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Supposons que la première limite soit une courbe dont les deux équations soient

$\Phi (x,y)=0,\quad \Psi (x,z)=0\,;$

la première de ces équations donnera, comme nous l’avons vu plus haut, l’équation variée

${\overset {.}{y}}_{0}-(y')_{0}{\overset {.}{x}}_{0}=0,$

et la seconde donnera de même

${\overset {.}{z}}_{0}-(z')_{0}{\overset {.}{x}}_{0}=0.$

Tirant de ces deux équations les valeurs de ${\overset {.}{y}}_{0}$ et ${\overset {.}{z}}_{0}$ et les substituant dans la première des deua équations ci-dessus, on aura

$\left[1+y'_{0}(y')_{0}+z'_{0}(z')_{0}\right]x_{0}=0,$

et, comme la variation $x_{0}$ doit demeurer indéterminée, il en résultera cette équation de condition pour la première limite

$1+y'_{0}(y')_{0}+z'_{0}(z')_{0}=0,$

à laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires $c,d,$ l’autre devant être indéterminée par l’équation de condition de la seconde limite, laquelle sera de même

$1+y'_{1}(y')_{1}+z'_{1}(z')_{1}=0.$

Mais, si l’on veut savoir ce que ces équations représentent, il n’y a qu’à se rappeler que, dans la théorie du contact des courbes, on démontre qu’en regardant les dérivées de $y'_{0}$ et $z'_{0}$ comme constantes, les deux équations

$y=y'_{0}x+\mu ,\quad z=z'_{0}x+\nu ,$

où $\mu$ et $\nu$ sont aussi des constantes par rapport à $x$ et $y,$ représentent la ligne droite qui touche la courbe de la première limite ; et que de la même manière les deux équations

$y=(y')_{0}x+\pi ,\quad z=(z')_{0}x+\rho$

représentent la ligne droite qui touche au même point la ligne la plus courte, $\pi$ et $\rho$ étant aussi des constantes par rapport à $x$ et $y.$