Supposons que la première limite soit une courbe dont les deux équations soient
![{\displaystyle \Phi (x,y)=0,\quad \Psi (x,z)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7791d539cc942b9229d619ad6fa91a469d2dbac)
la première de ces équations donnera, comme nous l’avons vu plus haut, l’équation variée
![{\displaystyle {\overset {.}{y}}_{0}-(y')_{0}{\overset {.}{x}}_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d622b639669cd5f81b957782bf8f779eb1b5d0)
et la seconde donnera de même
![{\displaystyle {\overset {.}{z}}_{0}-(z')_{0}{\overset {.}{x}}_{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cd8e1b854fe30718e4928e23e8198337a865ce)
Tirant de ces deux équations les valeurs de
et
et les substituant dans la première des deua équations ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \left[1+y'_{0}(y')_{0}+z'_{0}(z')_{0}\right]x_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6abeda0ed40b143a36233e324e2cd36becad8dd4)
et, comme la variation
doit demeurer indéterminée, il en résultera cette équation de condition pour la première limite
![{\displaystyle 1+y'_{0}(y')_{0}+z'_{0}(z')_{0}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb91133e7ce61b07dba5686733520b79151ed700)
à laquelle on satisfera par le moyen d’une des constantes arbitraires
l’autre devant être indéterminée par l’équation de condition de la seconde limite, laquelle sera de même
![{\displaystyle 1+y'_{1}(y')_{1}+z'_{1}(z')_{1}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f3ccee56c822e42fd780ee9f67b1bfba7194598)
Mais, si l’on veut savoir ce que ces équations représentent, il n’y a qu’à se rappeler que, dans la théorie du contact des courbes, on démontre qu’en regardant les dérivées de
et
comme constantes, les deux équations
![{\displaystyle y=y'_{0}x+\mu ,\quad z=z'_{0}x+\nu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a86962e3a192392fd7c192d29404c07095a822)
où
et
sont aussi des constantes par rapport à
et
représentent la ligne droite qui touche la courbe de la première limite ; et que de la même manière les deux équations
![{\displaystyle y=(y')_{0}x+\pi ,\quad z=(z')_{0}x+\rho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677ee3b0ab186ef605d63f7224e457deba135ae4)
représentent la ligne droite qui touche au même point la ligne la plus courte,
et
étant aussi des constantes par rapport à
et ![{\displaystyle y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83f72471aff7c6fbb27df0f971283a068efe091f)